Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.
Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S = (0,0,2a)$.
Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM = x$, $0 < x < a$: $M = (x,0,0)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ có phương trình: $x = x$.
a. Tìm thiết diện
Thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng $x=x$ với các cạnh của chóp:
- Giao với $AB$: $Q = (x,0,0)$
- Giao với $SB$: Vector $SB = B-S = (a,0,-2a)$, tham số $t$: $S + t SB = (0,0,2a) + t(a,0,-2a) = (at,0,2a-2a t)$
Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $z = 2a - 2x$, nên giao điểm $P = (x,0,2a-2x)$
- Giao với $SC$: Vector $SC = C-S = (a,2a,-2a)$, tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t(a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a-2a t)$
Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $y = 2x$, $z = 2a - 2x$. Do hình thang vuông nên $y$ tối đa là $2a$ ⇒ lấy $R = (x,2a,0)$
Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P = (x,0,2a-2x)$, $Q = (x,0,0)$, $R = (x,2a,0)$.
b. Tính diện tích thiết diện
Vector $\vec{PQ} = Q-P = (0,0,0-(2a-2x)) = (0,0,2x-2a)$
Vector $\vec{PR} = R-P = (0,2a,0-(2a-2x)) = (0,2a,2x-2a)$
Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$
Tích có hướng:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (-4a(a-x), 0, 0)$
Độ lớn: $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = 4a(a-x)$
Vậy diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 a (a-x) = 2 a (a-x)$
Đáp án B
Trong (ABC) kẻ MN // AC ( N ∈ BC)
Trong (ABD) kẻ MP // AD ( P ∈ BD)
⇒ (MNP) là mặt phẳng cần tìm
Xét tam giác MNP có MN = MP =NP (= a - m )
⇒ tam giác MNP đều
Mà NP // CD và BG là trung tuyến tam giác BCD
⇒ BG cắt NP tại H là trung điểm NP
⇒ MH là đường cao tam giác MNP
Ta có: PH = a - m 2 và MP = a – m. Áp dụng định lý pitago, ta có: MH = 3 2 a - m
Và NP = a – m
SMNP = MH . NP 2 = 3 4 a - m 2
a: Từ M, kẻ MP//DC(P∈AC)
Từ N, kẻ NQ//DC(Q∈BD)
Xét ΔADC có MP//DC
nên \(\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AD}=\frac{x}{a}\)
=>AP=x
MP//DC
AD⊥ DC
Do đó: MP⊥AD
NQ//DC
CD⊥CB
Do đó: NQ⊥CB
ABCD là hình vuông
=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD
=>\(\hat{BAC}=\hat{DAC}=\frac12\cdot\hat{BAD}=45^0;\hat{BCA}=\hat{DCA}=\frac12\cdot\hat{BCD}=45^0\)
Xét ΔAMP vuông tại M có \(\hat{MAP}=45^0\)
nên ΔMAP vuông cân tại M
=>MP=MA=x
Xét ΔBCD có QN//CD
nên \(\frac{BQ}{BD}=\frac{BN}{BC}=\frac{a-x}{a}\)
=>BN=a-x
Xét ΔBQN vuông tại N có \(\hat{NBQ}=45^0\)
nên ΔBNQ vuông cân tại N
=>NQ=NB=a-x
=>Thiết diện của tứ diện với (α) là tứ giác MPNQ có MP//NQ
=>MPNQ là hình thang
Hình thang MPNQ trở thành hình vuông khi MP=QN
=>x=a/2
Khi đó: M,P,N,Q lần lượt là trung điểm của AD,AC,BC,BD
=>MPNQ là hình thoi
Ta có: Trong tứ diện đều, các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vừa vuông góc với nhau vừa có độ dài bằng nhau
=>MN=PQ
=>MPNQ là hình vuông