+) Do AM = 3MD; BN = 3NC suy ra:

+) Do P và Q lần lượt là trung điểm của AD và BC nên :

- Từ (1) và (2) suy ra: 

- Suy ra: M là trung điểm của DP; N là trung điểm CQ.

+) Ta có:

Trong mp (ACD) kéo dài MN và CD cắt nhau tại I

Trong mp (BCD) nối IQ cắt BD tại J

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ACD:

\(\dfrac{AM}{MC}.\dfrac{CI}{ID}.\dfrac{DN}{NA}=1\Rightarrow1.\dfrac{CI}{ID}.\dfrac{1}{2}=1\Rightarrow IC=2ID\)

Do \(BC=4BQ\Rightarrow QC+QB=4QB\Rightarrow QC=3QB\)

Menelaus cho tam giác BCD:

\(\dfrac{QC}{QB}.\dfrac{BJ}{JD}.\dfrac{DI}{IC}=1\Rightarrow3.\dfrac{BJ}{JD}.\dfrac{1}{2}=1\Rightarrow\dfrac{BJ}{JD}=\dfrac{2}{3}\)

Menelaus cho tam giác CQI:

\(\dfrac{ID}{DC}.\dfrac{CB}{BQ}.\dfrac{QJ}{JI}=1\Rightarrow1.4.\dfrac{JQ}{JI}=1\Rightarrow\dfrac{JQ}{JI}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{JB}{JD}+\dfrac{JQ}{JI}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{12}\)

Điểm P là điểm nào em nhỉ?

Trong (ABC) gọi K là giao điểm của MN và BC

Trong (BCD) gọi E và F là giao điểm của IK với CD và BD

=> Thiết diện là tứ giác MNEF

a: Gọi giao điểm của AG với BC là E

Xét ΔABD có

G là trọng tâm

E là giao điểm của AG với BD

Do đó: E là trung điểm của BD và AG=2/3AE

Xét ΔAHD có \(\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{2}{3}\)

nên GM//ED

=>GM//BD

mà BD\(\subset\left(BCD\right)\) và GM không thuộc mp(BCD)

nên GM//(BCD)

b: Gọi giao của AH với BC là F

Xét ΔABC có

H là trọng tâm

F là giao điểm của AH với BC

Do đó: F là trung điểm của BC và AH=2/3AF

Xét ΔAGE có \(\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{2}{3}\)

nên HG//FE

mà \(FE\subset\left(BCD\right)\);HG không thuộc(BCD)

nên HG//(BCD)

Vẽ hình minh họa dc kh ạ

vì

a: \(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B và MA=MB

=>M là trung điểm của AB

\(\overrightarrow{CP}=\frac12\cdot\overrightarrow{CD}\)

=>P nằm giữa C và D sao cho \(CP=\frac12CD\)

=>P là trung điểm của CD
b: Sửa đề: Chứng minh \(\overrightarrow{MP}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}\)

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}\)

Do đó: \(2\cdot\overrightarrow{MP}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{CP}\right)\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)