Bài 4: Cho ΔABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB = 5cm ,BC = 6cm.

a) Chứng minh BH = HC

b) Tính độ dài BH , AH

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng A,G , H thẳng hàng .

d) \(\widehat{ABG}\) = \(\widehat{ACG}\)

Giải

a) Chứng minh BH = HC

- Xét Δ AHB và Δ AHC có:

+ \(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{AHC}\) = 90⁰ (vì AH ⊥ BC = {H}, giả thiết)

+ AB = AB (vì Δ ABC cân tại A, giả thiết)

+ AH chung

⇒ Δ AHB = Δ AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ BH = HC (2 cạnh tương ứng)

b) Tính độ dài BH , AH

Ta có BH = HC (CM câu a)

Mà BC = BH + HC

6 = BH + HC

⇒ BH = HC = \(\frac{6}{2}\)= 3 cm

- Áp dụng định lý Pytago vào Δ AHB vuông tại H

⇒ AB² = AH² + BH²

5² = AH² + 3²

25 = AH² + 9

AH² = 25-9

AH² = 16 = 4²

⇒ AH = 4 cm

Vậy: BH = 3 cm

AH = 4 cm

c) Chứng minh rằng A,G , H thẳng hàng .

G là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ AG là trung tuyến của BC

mà ΔABC cân tại A

⇒ AG là đường cao của BC (tính chất tam giác cân)

mà AH là đường cao của BC

⇒ G ∈ AH hay A, G, H thẳng hàng (đpcm)

d) \(\widehat{ABG}\) = \(\widehat{ACG}\)

- Ta có: AH là đường trung trực của BC

mà G ∈ AH (CM câu c)

⇒ GB = GC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ Δ GBC cân tại G

- Ta có: Δ ABC cân tại A

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\) (vì Δ GBC cân tại G, CMT)

⇒ \(\widehat{ABC}-\widehat{GBC}\) = \(\widehat{ACB}-\widehat{GCB}\)

⇒ \(\widehat{ABG}=\widehat{ACG}\) (đpcm)

(Tự vẽ hình)

a, Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\left(AH\perp BC\right)\)

\(\)AH chung

\(=>\Delta AHB=\Delta AHC\left(ch-cgv\right)\)

\(~>BH=HC\) (cặp cạnh tương ứng)

b, Ta có: BH + HC = BC = 6 cm

=> BH = HC = 3 cm

- Áp dụng định lý Py - ta - go cho tam giác vuông AHB:

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(=>AH^2=AB^2-BH^2\)

\(AH^2=5^2-3^2\)

\(AH^2=25-6=19\)

\(~>AH=\sqrt{19}\)

c, Do G là trọng tâm ΔABC ( gt)

⇒AG là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ AG đi qua trung điểm của BC (1)

mà H là trung điểm của BC (gt) (2)

(1)(2) ⇒⇒ A ; G ; H thẳng hàng

d, Ta có: ΔABC cân tại A, đường cao AH (gt)

⇒AH là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

⇒\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

Xét ΔABG và ΔACG

có AG cạnh chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

AB = AC (gt)

⇒ΔABG = ΔACG ( c-g-c)

⇒ \(\widehat{ABG}=\widehat{ACG}\)

b, Cho BH = 8cm, AH = 10cm. Tính AH này là sao , biết AH mà còn bắt tính AH

Bai 1:

Ap dung dinh li Py-ta-go vao tam giac AHB ta co:

AH^2+BH^2=AB^2

=>12^2+BH^2=13^2

=>HB=13^2-12^2=25

Tuong tu voi tam giac AHC

=>AC=20

=>BC=25+16=41

a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: 

 BC² = AC² + AB²

25² = 15² + AB² \(\Rightarrow ab=20\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC có:

  AC < AB < BC nên \(\widehat{CBA}< \widehat{BCA}< \widehat{BAC}.\)

b)  Xét tam giác vuông EHA và tam giác vuông EHC có:

Cạnh EH chung

HC = HA

\(\Rightarrow\Delta EHC=\Delta EHA\)  (Hai cạnh góc vuông)

Do \(\Delta EHC=\Delta EHA\Rightarrow\widehat{ECA}=\widehat{EAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EAB}\)    (Cùng phụ với hai góc bên trên)

Vậy nên tam giác EAB cân tại E.

c) Tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên CA đồng thời là trung tuyến. 

Xét tam giác CBN có CA và BF là các đường trung tuyến mà CA giao BF tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất trọng tâm ta có:

\(\frac{AG}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AG=\frac{1}{5}.15=5\left(cm\right)\)

d) Xét tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Gọi giao điểm của EH với CN là F'. Khi đó ta có \(\Delta ECH=\Delta F'CH\)   (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

\(\Rightarrow CE=CF'\)

Lại có \(CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CN\Rightarrow CF'=\frac{1}{2}CN\)

Suy ra F' là trung điểm CN hay F' trùng F.

Vậy nên E, H, FA thẳng hàng.

Bài giải : 

a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: 

 BC² = AC² + AB²

25² = 15² + AB² ⇒ab=20(cm)

Xét tam giác ABC có:

  AC < AB < BC nên ^CBA<^BCA<^BAC.

b)  Xét tam giác vuông EHA và tam giác vuông EHC có:

Cạnh EH chung

HC = HA

⇒ΔEHC=ΔEHA  (Hai cạnh góc vuông)

Do ΔEHC=ΔEHA⇒^ECA=^EAC

⇒^EBA=^EAB    (Cùng phụ với hai góc bên trên)

Vậy nên tam giác EAB cân tại E.

c) Tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên CA đồng thời là trung tuyến. 

Xét tam giác CBN có CA và BF là các đường trung tuyến mà CA giao BF tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất trọng tâm ta có:

AGAC =13 ⇒AG=15 .15=5(cm)

d) Xét tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Gọi giao điểm của EH với CN là F'. Khi đó ta có ΔECH=ΔF'CH   (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

⇒CE=CF'

Lại có CE=12 BC=12 CN⇒CF'=12 CN

Suy ra F' là trung điểm CN hay F' trùng F.

Vậy nên E, H, FA thẳng hàng.

HÌNH TỰ VẼ NHA

a. Vì △ ABC cân tại A => AB=AC

góc ABC=ACB

Xét △ABH và △ACH có:

AB=AC

góc ABH=ACH

góc BAH=CAH ( tia phân giác AH của góc BAC )

=> △ABH =△ACH ( g.c.g )

b, Có △ABH =△ACH => BH=HC

=> AH là đường trung tuyến △ ABC

Có: BD cũng là trung tuyến △ ABC

mà AH và BD cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của △ABC

△ABH =△ACH => góc AHB=AHC = 90 độ

Xét tam giác AHB vuông tại H , ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

=> \(15^2=AH^2+9^2\)

=> \(AH^2=144\)

=> AH=12

Có G là trọng tâm => \(\dfrac{AG}{AH}=\dfrac{2}{3}\)

=> AG =\(12.\dfrac{2}{3}=8\)

Câu (c) có vẻ như đề bài sai.

giải giúp mình vs

a) Xét tam giác HAB và HAC ,ta có :

 Cạnh AH chung  (1)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)( phân giác AH ) (2)

AB = AC ( gt )(3)

Từ (1)(2)(3) => tam giác HAB = HAC ( c. g. c )

b) Ta có trong tam giác cân ABC có AH là đường cao cũng là đường trung tuyến

=> G là giao của2 đường trung tuyến AH và BD

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

p/s tham khảo

a ) Xét  ∆BAD và  ∆CAD
AB = AC (  ∆ABC cân )
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)
=>  ∆ABH =  ∆ACH(g.c.g)