Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có $\triangle BDH \sim \triangle BCK$ và $\triangle CEH \sim \triangle CBK$, do đó:
$$\frac{BD}{BC} = \frac{BH}{BK} \Rightarrow BD\cdot BH = BC\cdot BK$$
$$\frac{CE}{CB} = \frac{CH}{CK} \Rightarrow CE\cdot CH = CB\cdot CK$$
b) Từ a), ta có:
$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC\cdot BK + CB\cdot CK = BC(BK+CK) = BC^2$$
Vì $BK+CK=BC$, do đó:
$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2$$
c) Ta có:
$$\frac{AE}{AD} = \frac{CE}{CD} \text{ và } \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$
Nhân vế với nhau, ta được:
$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{CD}\cdot \frac{BD}{CD}$$
Do $CD = BD+CE$ và $\triangle ACD \sim \triangle ABC$, ta có:
$$\frac{CD}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow CD = \frac{AB\cdot AC}{BC}$$
Thay vào phương trình trên ta được:
$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{BD+CE}\cdot \frac{BD}{AB} \Rightarrow \frac{AE\cdot AB}{AD\cdot AC} = \frac{CE\cdot BD}{(BD+CE)\cdot AB}$$
Do đó:
$$\frac{AE}{AC}\cdot \frac{AB}{AD} = \frac{CE}{BC}\cdot \frac{BD}{CD} \Rightarrow AE\cdot AB = AD\cdot AC$$
d) Ta cần chứng minh $\angle EKH = \angle DKH$.
Xét tam giác $EBH$ và $DKH$:
$EB \parallel DK$ (vì $EB \perp AC$ và $DK \perp AC$)$EH \parallel DH$ (vì $EH \perp BC$ và $DH \perp BC$)$\angle BEH = \angle DKH$ (vì cùng bằng $\angle ABC$)Do đó, $\triangle EBH \sim \triangle DKH$ và có:
$$\frac{EK}{EB} = \frac{DH}{BH} \Rightarrow EK = \frac{BD\cdot DH}{BH}$$
Ta cũng có:
$$\frac{DK}{BH} = \frac{DH}{EB} \Rightarrow DK = \frac{CE\cdot DH}{EB}$$
Nhân vế với nhau, ta được:
$$EK\cdot DK = \frac{BD\cdot DH\cdot CE\cdot DH}{BH\cdot EB} = \frac{BD\cdot BH\cdot CE\cdot CH}{BH\cdot EB} = BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2 - KH^2$$
(theo b))
Do đó:
$$KH^2 = BC^2 - EK\cdot DK = (BC-EK)\cdot (BC+DK) = CK\cdot BK$$
(theo a))
Vậy $\triangle KHC \sim \triangle KEB$ và từ đó suy ra $\angle EKH = \angle DKH$ (vì cùng bằng $\angle BAC$). Do đó, $KH$ là phân giác góc $EKD$.
a: Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
góc DBC chung
Do đó: ΔBKH đồng dạng vớiΔBDC
Suy ra: BK/BD=BH/BC
hay \(BD\cdot BH=BK\cdot BC\)
Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có
góc KCH chung
Do đó: ΔCKH đồng dạng với ΔCEB
Suy ra: CK/CE=CH/CB
hay \(CH\cdot CE=CK\cdot CB\)
=>\(BH\cdot BD+CH\cdot CE=BC^2\)
b: Xét ΔADB vuông tạiD và ΔAEC vuông tại E có
góc DAB chung
Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay AD/AB=AE/AC
Xét ΔADE và ΔABC có
AD/AB=AE/AC
góc DAE chung
Do đó: ΔADE đồng dạng với ΔABC
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
\(\hat{DAB}\) chung
Do đó: ΔADB~ΔAEC
=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)
b: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC
mà HK⊥BC
và AH,HK có điểm chung là H
nên A,H,K thẳng hàng
Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
\(\hat{KBH}\) chung
Do đó: ΔBKH~ΔBDC
=>\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)
=>\(BH\cdot BD=BK\cdot BC\)
Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có
\(\hat{KCH}\) chung
Do đó: ΔCKH~ΔCEB
=>\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)
=>\(CK\cdot CB=CH\cdot CE\)
\(BH\cdot BD+CH\cdot CE\)
\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)
a: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
góc DBH chung
Do đó: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có
góc BHD=góc AHE
Do đó: ΔBDH đồng dạng với ΔAEH
b: DC=BC/2=60(cm)
=>AD=80cm
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔADC vuông tại D có
góc C chung
Do đó: ΔBEC đồng dạng với ΔADC
=>BE/AD=EC/DC=BC/AC
=>BE/80=EC/60=120/100=6/5
=>BE=96(cm); EC=72(cm)
Ta có: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
nên BD/BE=DH/EC=BH/BC
=>DH/72=BH/120=60/96=5/8
=>DH=45cm; BH=75cm
Ta có;ΔBDH đồng dạng với ΔAEH
nên BD/AE=DH/EH=BH/AH
=>45/EH=75/AH=60/100-72=60/28=15/7
=>EH=45:15/7=45x7/15=21(cm)
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc A chung
=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC
b: Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có
góc KBH chung
=>ΔBKH đồng dạng với ΔBDC
=>BK/BD=BH/BC
=>BK*BC=BD*BH