Lời giải:

Bài toán sử dụng tính chất: Trung tuyến đối diện cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

Khi đó ta có:

$HJ=JD=KJ(=\frac{AM}{2}$)

Tam giác vuông $BHM$ có $\widehat{B}=60^0$ nên $BH=\frac{BM}{2}$

$\Rightarrow \frac{BM}{BH}=2=\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BD}$

Xét tam giác $BAM$ và $BDH$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\frac{BM}{BH}=\frac{BA}{BD}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle BAM\sim \triangle BDH$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BDH}$

$JD=\frac{AM}{2}=JM$ nên tam giác $JDM$ cân tại $J$

$\Rightarrow \widehat{JDM}=\widehat{JMD}$

Từ các kq trên có:

$\widehat{JDH}=\widehat{JDM}-\widehat{BDH}=\widehat{JMD}-\widehat{BAM}=\widehat{B}=60^0$

Tam giác $JHD$ cân tại $J$ (do $HJ=DJ$) mà lại có 1 góc bằng $60^0$ nên đây là tam giác đều.

$\Rightarrow HJ=DH$

Tương tự: $KJ=DK$

Như vậy: $DH=HJ=KJ=DK$ nên $HJKD$ là hình thoi.

Hình vẽ:

1: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD

Xét tứ giác MHCP có \(\hat{MHC}=\hat{MPC}=\hat{PCH}=90^0\)

nên MHCP là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MHCP có CM là phân giác của góc HCP

nên MHCP là hình vuông

Xét tứ giác AQMK có \(\hat{AQM}=\hat{AKM}=\hat{QAK}=90^0\)

nên AQMK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AQMK có AM là phân giác của góc QAK

nên AQMK là hình vuông

2:

Ta có: QM⊥AB

AB//CD

Do đó: QM⊥CD

Ta có: QM⊥CD

MH⊥CD

mà QM,MH có điểm chung là M

nên Q,M,H thẳng hàng

Xét tứ giác AQHD có \(\hat{QAD}=\hat{ADH}=\hat{QHD}=90^0\)

nên AQHD là hình chữ nhật

=>AQ=HD

mà AQ=AK

nên AK=DH

Xét ΔBAK vuông tại A và ΔADH vuông tại D có

BA=AD

AK=DH

Do đó: ΔBAK=ΔADH

=>\(\hat{AKB}=\hat{DHA}\)

mà \(\hat{DHA}+\hat{DAH}=90^0\) (ΔDAH vuông tại D)

nên \(\hat{AKB}+\hat{DAH}=90^0\)

=>AH⊥BK