b, Vì K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên tứ giác DKEF nội tiếp

→PKE = PFD (góc ngoài tứ giác)

mà DPF chung

→ΔPKE đồng dạng ΔPFD (góc-góc)

→\(\dfrac{PK}{PE}=\dfrac{PF}{PD}\) 

→PK.PD=PF.PE (1)

Vì tứ giác NMFE là tứ giác nội tiếp

→PNE =PFD

mà MPF chung

→ΔPNE đồng dạng ΔPFM (góc-góc)

→\(\dfrac{PN}{PE}=\dfrac{PF}{PM}\) (2 góc tương ứng)

→PN.PM=PE.PF (2)

Từ (1) và (2) suy ra:PN.PM=PK.PD(đpcm)

c) Mình ghi có hơi gọn tí ở một số bước (do đây là những bài toán cơ bản, có thể tự chứng minh được), bạn thông cảm nha!

ENMF nội tiếp và DNHM nội tiếp

\(\Rightarrow PE.PF=PN.PM=PK.PD\)  hay \(PN.PM=PK.PD \Rightarrow \) DKNM nội tiếp

\(\Rightarrow\) DKNHM nội tiếp hay DKHM nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{DKH}=180^{\circ}-\widehat{DMH}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\) hay \(HK \perp PD\) 

Kẻ đường kính DA của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\)

\(\Rightarrow\) EHFA là hình bình hành (bài toán quen thuộc)

     Hay H, Q, A thẳng hàng

\(\Delta AKD\) nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tam giác này vuông tại K

\(\Rightarrow AK\perp PD\) mà \(HK \perp PD\)

\(\Rightarrow \) A, H, K thẳng hàng mà H, Q, A thẳng hàng

\(\Rightarrow\) Q, H, K thẳng hàng

\(\Rightarrow QK \perp PD\) mà \(DH \perp PQ\)

\(\Rightarrow PH \perp DQ (đpcm)\)

Xét \(\left(\dfrac{EK}{2}\right)\) có

ΔKME nội tiếp đường tròn

KE là đường kính

Do đó: ΔKME vuông tại M

Xét \(\left(\dfrac{FK}{2}\right)\) có

ΔFNK nội tiếp đường tròn

FK là đường kính

Do đó: ΔFNK vuông tại N

Xét tứ giác DMKN có \(\widehat{DMK}=\widehat{DNK}=\widehat{MDN}=90^0\)

nên DMKN là hình chữ nhật

hay D,M,K,N cùng thuộc 1 đường tròn

Gọi A là trung điểm của IE, B là trung điểm của FI

=>A là tâm đường tròn đường kính IE, B là tâm đường tròn đường kính FI

Xét (A) có

ΔIME nội tiếp

IE là đường kính

Do đó: ΔIME vuông tại M

=>IM⊥DE tại M

Xét (B) có

ΔFNI nội tiếp

FI là đường kính

Do đó; ΔFNI vuông tại N

=>IN⊥DF tại N Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMIN là hình chữ nhật

=>DI=MN

DMIN là hình chữ nhật

=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của DI và MN

Ta có: \(OD=OI=\frac{DI}{2}\)

\(OM=ON=\frac{MN}{2}\)

mà DI=MN

nên OD=OI=OM=ON

Xét ΔOIA và ΔOMA có

OI=OM

IA=MA

OA chung

Do đó: ΔOIA=ΔOMA

=>\(\hat{OIA}=\hat{OMA}\)

=>\(\hat{OMA}=90^0\)

=>MN⊥MA tại M

=>MN là tiếp tuyến tại M của (A)

Xét ΔBNO và ΔBIO có

BN=BI

NO=IO

BO chung

Do đó; ΔBNO=ΔBIO

=>\(\hat{BNO}=\hat{BIO}\)

=>\(\hat{BNO}=90^0\)

=>NM⊥NB tại N

=>NM là tiếp tuyến tại N của (B)

Gọi J là trung điểm của FI

=>J là tâm đường tròn đường kính FI

Gọi K là trung điểm của IE

=>K là tâm đường tròn đường kính IE

Gọi O là giao điểm của DI và MN

Xét (K) có

ΔIME nội tiếp

IE là đường kính

Do đó: ΔIME vuông tại M

=>IM⊥DE tại M

Xét (J) có

ΔFNI nội tiếp

FI là đường kính

Do đó: ΔFNI vuông tại N

=>NI⊥FD tại N

Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMIN là hình chữ nhật

=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của DI và MN

Ta có; DMIN là hình chữ nhật

=>DI=MN

mà \(OD=OI=\frac{DI}{2};OM=ON=\frac{MN}{2}\)

nên OD=OI=OM=ON

Xét ΔOIK và ΔOMK có

OI=OM

IK=MK

OK chung

Do đó: ΔOIK=ΔOMK

=>\(\hat{OIK}=\hat{OMK}\)

=>\(\hat{NMK}=90^0\)

=>NM là tiếp tuyến tại M của (K)

Xét ΔJNO và ΔJIO có

JN=JI

NO=IO

JO chung

Do đó: ΔJNO=ΔJIO

=>\(\hat{JNO}=\hat{JIO}\)

=>\(\hat{JNO}=90^0\)

=>NM là tiếp tuyến tại N của (J)

Gọi A là trung điểm của IE, B là trung điểm của FI

=>A là tâm đường tròn đường kính IE, B là tâm đường tròn đường kính FI

Xét (A) có

ΔIME nội tiếp

IE là đường kính

Do đó: ΔIME vuông tại M

=>IM⊥DE tại M

Xét (B) có

ΔFNI nội tiếp

FI là đường kính

Do đó; ΔFNI vuông tại N

=>IN⊥DF tại N

Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMIN là hình chữ nhật

=>DI=MN

DMIN là hình chữ nhật

=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của DI và MN

Ta có: \(OD=OI=\frac{DI}{2}\)

\(OM=ON=\frac{MN}{2}\)

mà DI=MN

nên OD=OI=OM=ON

Xét ΔOIA và ΔOMA có

OI=OM

IA=MA

OA chung

Do đó: ΔOIA=ΔOMA

=>\(\hat{OIA}=\hat{OMA}\)

=>\(\hat{OMA}=90^0\)

=>MN⊥MA tại M

=>MN là tiếp tuyến tại M của (A)

Xét ΔBNO và ΔBIO có

BN=BI

NO=IO

BO chung

Do đó; ΔBNO=ΔBIO

=>\(\hat{BNO}=\hat{BIO}\)

=>\(\hat{BNO}=90^0\)

=>NM⊥NB tại N

=>NM là tiếp tuyến tại N của (B)