Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b, Vì K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên tứ giác DKEF nội tiếp
→PKE = PFD (góc ngoài tứ giác)
mà DPF chung
→ΔPKE đồng dạng ΔPFD (góc-góc)
→\(\dfrac{PK}{PE}=\dfrac{PF}{PD}\)
→PK.PD=PF.PE (1)
Vì tứ giác NMFE là tứ giác nội tiếp
→PNE =PFD
mà MPF chung
→ΔPNE đồng dạng ΔPFM (góc-góc)
→\(\dfrac{PN}{PE}=\dfrac{PF}{PM}\) (2 góc tương ứng)
→PN.PM=PE.PF (2)
Từ (1) và (2) suy ra:PN.PM=PK.PD(đpcm)
c) Mình ghi có hơi gọn tí ở một số bước (do đây là những bài toán cơ bản, có thể tự chứng minh được), bạn thông cảm nha!
ENMF nội tiếp và DNHM nội tiếp
\(\Rightarrow PE.PF=PN.PM=PK.PD\) hay \(PN.PM=PK.PD \Rightarrow \) DKNM nội tiếp
\(\Rightarrow\) DKNHM nội tiếp hay DKHM nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{DKH}=180^{\circ}-\widehat{DMH}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\) hay \(HK \perp PD\)
Kẻ đường kính DA của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\)
\(\Rightarrow\) EHFA là hình bình hành (bài toán quen thuộc)
Hay H, Q, A thẳng hàng
\(\Delta AKD\) nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tam giác này vuông tại K
\(\Rightarrow AK\perp PD\) mà \(HK \perp PD\)
\(\Rightarrow \) A, H, K thẳng hàng mà H, Q, A thẳng hàng
\(\Rightarrow\) Q, H, K thẳng hàng
\(\Rightarrow QK \perp PD\) mà \(DH \perp PQ\)
\(\Rightarrow PH \perp DQ (đpcm)\)
Xét \(\left(\dfrac{EK}{2}\right)\) có
ΔKME nội tiếp đường tròn
KE là đường kính
Do đó: ΔKME vuông tại M
Xét \(\left(\dfrac{FK}{2}\right)\) có
ΔFNK nội tiếp đường tròn
FK là đường kính
Do đó: ΔFNK vuông tại N
Xét tứ giác DMKN có \(\widehat{DMK}=\widehat{DNK}=\widehat{MDN}=90^0\)
nên DMKN là hình chữ nhật
hay D,M,K,N cùng thuộc 1 đường tròn
Gọi A là trung điểm của IE, B là trung điểm của FI
=>A là tâm đường tròn đường kính IE, B là tâm đường tròn đường kính FI
Xét (A) có
ΔIME nội tiếp
IE là đường kính
Do đó: ΔIME vuông tại M
=>IM⊥DE tại M
Xét (B) có
ΔFNI nội tiếp
FI là đường kính
Do đó; ΔFNI vuông tại N
=>IN⊥DF tại N Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)
nên DMIN là hình chữ nhật
=>DI=MN
DMIN là hình chữ nhật
=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của DI và MN
Ta có: \(OD=OI=\frac{DI}{2}\)
\(OM=ON=\frac{MN}{2}\)
mà DI=MN
nên OD=OI=OM=ON
Xét ΔOIA và ΔOMA có
OI=OM
IA=MA
OA chung
Do đó: ΔOIA=ΔOMA
=>\(\hat{OIA}=\hat{OMA}\)
=>\(\hat{OMA}=90^0\)
=>MN⊥MA tại M
=>MN là tiếp tuyến tại M của (A)
Xét ΔBNO và ΔBIO có
BN=BI
NO=IO
BO chung
Do đó; ΔBNO=ΔBIO
=>\(\hat{BNO}=\hat{BIO}\)
=>\(\hat{BNO}=90^0\)
=>NM⊥NB tại N
=>NM là tiếp tuyến tại N của (B)
Gọi J là trung điểm của FI
=>J là tâm đường tròn đường kính FI
Gọi K là trung điểm của IE
=>K là tâm đường tròn đường kính IE
Gọi O là giao điểm của DI và MN
Xét (K) có
ΔIME nội tiếp
IE là đường kính
Do đó: ΔIME vuông tại M
=>IM⊥DE tại M
Xét (J) có
ΔFNI nội tiếp
FI là đường kính
Do đó: ΔFNI vuông tại N
=>NI⊥FD tại N
Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)
nên DMIN là hình chữ nhật
=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của DI và MN
Ta có; DMIN là hình chữ nhật
=>DI=MN
mà \(OD=OI=\frac{DI}{2};OM=ON=\frac{MN}{2}\)
nên OD=OI=OM=ON
Xét ΔOIK và ΔOMK có
OI=OM
IK=MK
OK chung
Do đó: ΔOIK=ΔOMK
=>\(\hat{OIK}=\hat{OMK}\)
=>\(\hat{NMK}=90^0\)
=>NM là tiếp tuyến tại M của (K)
Xét ΔJNO và ΔJIO có
JN=JI
NO=IO
JO chung
Do đó: ΔJNO=ΔJIO
=>\(\hat{JNO}=\hat{JIO}\)
=>\(\hat{JNO}=90^0\)
=>NM là tiếp tuyến tại N của (J)
Gọi A là trung điểm của IE, B là trung điểm của FI
=>A là tâm đường tròn đường kính IE, B là tâm đường tròn đường kính FI
Xét (A) có
ΔIME nội tiếp
IE là đường kính
Do đó: ΔIME vuông tại M
=>IM⊥DE tại M
Xét (B) có
ΔFNI nội tiếp
FI là đường kính
Do đó; ΔFNI vuông tại N
=>IN⊥DF tại N
Xét tứ giác DMIN có \(\hat{DMI}=\hat{DNI}=\hat{MDN}=90^0\)
nên DMIN là hình chữ nhật
=>DI=MN
DMIN là hình chữ nhật
=>DI cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của DI và MN
Ta có: \(OD=OI=\frac{DI}{2}\)
\(OM=ON=\frac{MN}{2}\)
mà DI=MN
nên OD=OI=OM=ON
Xét ΔOIA và ΔOMA có
OI=OM
IA=MA
OA chung
Do đó: ΔOIA=ΔOMA
=>\(\hat{OIA}=\hat{OMA}\)
=>\(\hat{OMA}=90^0\)
=>MN⊥MA tại M
=>MN là tiếp tuyến tại M của (A)
Xét ΔBNO và ΔBIO có
BN=BI
NO=IO
BO chung
Do đó; ΔBNO=ΔBIO
=>\(\hat{BNO}=\hat{BIO}\)
=>\(\hat{BNO}=90^0\)
=>NM⊥NB tại N
=>NM là tiếp tuyến tại N của (B)
Chắc đề là cắt DE, DF lần lượt tại I, K?
\(\widehat{EIF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính EF
\(\Rightarrow\widehat{EIF}=90^0\)
\(\Rightarrow FI\perp DE\)
Hoàn toàn tương tự, ta có \(EK\perp DF\)
\(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác DEF
\(\Rightarrow DH\) là đường cao thứ 3 ứng với EF
\(\Rightarrow DH\perp EF\)