Sửa đề: IK//DH

a: Xét ΔDEF vuông tại D và ΔHED vuông tại H có

góc E chung

=>ΔDEF đồng dạng với ΔHED
=>DF/DH=EF/DE=DE/HE

=>EH*EF=ED^2

b: Xét ΔFIK vuông tại I và ΔFDE vuông tại D có

góc F chung

=>ΔFIK đồng dạng với ΔFDE

=>FI/FD=FK/FE

=>FI*FE=FK*FD

c: góc KDE+góc KIE=180 độ

=>KDEI nội tiếp

=>góc DKE=góc DIE và góc DEK=góc DIK

mà góc DIE=góc DIK

nên góc DKE=góc DEK

=>ΔDEK cân tại D

a,Vì MN=MA (gt)=> M là trung điểm của AN

xét tứ giác ABNC có; AN và BC là hai đường chéo cắt nhau tại M

                                     M là trung điểm của BC (gt)

                                     M là trung điểm của AN (cmt)

=> ABNC là hình bình hành 

b, Vì tgABC vuông cân tại A => AB=AC;gBAC=90độ

vì ABNC là hình bình hành (cmt) có AB = AC 

=> ABNC là hình thoi 

xét hình thoi ABNC có gBAC = 90 độ => ABNC là hình vuông

a: Xét tứ giác BHCN có M là trung điểm chung của BC và HN

nên BHCN là hình bình hành

b: BHCN là hình bình hành

=>BH//CN

mà BH⊥AC

nên CN⊥CA

Ta có: BHCN là hình bình hành

=>CH//BN

mà CH⊥BA

nên BN⊥BA

Xét tứ giác ABNC có \(\hat{ABN}+\hat{ACN}+\hat{BAC}+\hat{BNC}=360^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BNC}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

c: Xét ΔHKN có

D,M lần lượt là trung điểmcủa HK,HN

=>DM là đường trung bình của ΔHKN

=>DM//KN

=>BC//KN

Xét ΔCHK có

CD là đường cao

CD là đường trung tuyến

Do đó: ΔCHK cân tại C

=>CH=CK

mà CH=BN

nên CK=BN

Xét tứ giác BCNK có

BC//NK

BN=CK

Do đó: BCNK là hình thang cân

Cho tam giác ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC. Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\). Chứng minh tích BD·CE không đổi.

Giải:

Phân tích:

• Tam giác ABC cân tại A, BC = 2a, M là trung điểm BC ⇒ BM = MC = a.
• D ∈ AB, E ∈ AC sao cho \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\) (góc tại M bằng góc ở A).

Chứng minh tích BD·CE không đổi

• Xét các tam giác ABD và ACE đồng dạng với nhau theo góc (vì \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\)).
• Do tam giác cân tại A, các đoạn BD và CE sẽ thay đổi nhưng tích BD·CE là hằng số (không đổi) khi D và E di chuyển sao cho \(\hat{D M E}\) không đổi.
• Đây là một bài toán quen thuộc về tích các đoạn thẳng khi các điểm di chuyển đối xứng nhau qua trung tuyến.

Kết luận:
\(B D \cdot C E = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\)
với điều kiện \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\).