a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc EAD=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6cm

b: Gọi O là giao của AH và DE

=>O là trung điểm chung của AH và DE
mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Ta có: góc OHD+góc MHD=90 độ

góc ODH+góc MDH=90 độ

mà góc OHD=góc ODH

nên góc MHD=góc MDH

=>ΔMHD cân tại M và góc MDB=góc MBD

=>ΔMBD cân tại M

=>MH=MB

=>M là trung điểm của HB

Cm tương tự, ta được N là trung điểm của HC

=>MN=1/2BC

d: \(AD\cdot AB=AH^2\)

\(AE\cdot AC=AH^2\)

Do đó: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

Tương tự, HS tự làm

a)Áp dụng HTL2 vào tam giác ABC cuông tại A, đường cao AH ta có:

AH²=BH.HC=9.16=144

<=>AH=√144=12((cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BHA ta có:

BA²=AH²+BH²=12²+9²=225

<=>BA=√225=15(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông CHA ta có:

CA²=AH²+CH²=12²+16²=20(cm)

Vậy AB=15cm,AC=20cm,AH=12cm

a: Xét ΔABH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AF\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

anh đây đẹp troai, chim dài mét hai !

con ciu 5cm im đi

Câu b: Xet tg vuông AEH và tg vuông ABC có

^BAH = ^ACB (cùng phụ với ^ABC)

=> Tg AEH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{AB}\) mà EH=AF (cạnh đối HCN)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

Câu c: 

Ta có AM=BC/2==BM=CM (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M => ^MAC = ^ACB mà  ^BAH = ^ACB (cmt)  => ^MAC = ^BAH (1)

Ta có ^AHE = ^ABC (cùng phụ với ^BAH) mà ^AHE = ^HAC (góc so le trong) => ^ABC = ^HAC (2)

Gọi giao của AH với EF là O xét tg AOF  có

AH=EF (hai đường chéo HCN = nhau) 

O là trung điểm của AH vào EF 

=> OA=OF => tg AOF cân tại O => ^HAC = ^AFE (3)

Từ (2) và (3) => ^AFE = ^ABC (4)

Mà ^ABC + ^ACB = 90 (5)

Từ (1) (4) (5) => ^MAC + ^AFE = 90

Xét tg AKF có ^AKF = 180 - (^MAC + ^AFE) = 180-90=90 => AM vuông góc EF tại K

1: ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=9^2-5,4^2=\left(9-5,4\right)\left(9+5,4\right)=3,6\cdot14,4=3,6\cdot3,6\cdot4=\left(3,6\cdot2\right)^2=7,2^2\)

=>AH=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{7.2^2}{5.4}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+CH=5,4+9,6=15(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AC=12(cm)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

=>EF=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin ABC=\(\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\)

nên \(\hat{ABC}\) ≃53 độ

mà \(\hat{HAC}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HAC}\) ≃53 độ

2: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF\)

\(=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

\(=\frac{7.2^3}{15}=24,8832\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{AFE}=\frac12\cdot S_{AEHF}=\frac12\cdot24,8832=12,4416\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

3: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\)

=>\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{15}{7}\)

=>\(\begin{cases}DB=\frac{15}{7}\cdot3=\frac{45}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=\frac{15}{7}\cdot4=\frac{60}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

4:

a: \(AE\cdot AB=AH^2\)

\(AF\cdot AC=AH^2\)

\(HB\cdot HC=AH^2\)

Do đó: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=HB\cdot HC\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có

cos B=BA/BC; cos C=CA/CB

\(BA\cdot cosB+CA\cdot cosC\)

\(=AB\cdot\frac{AB}{BC}+AC\cdot\frac{AC}{BC}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{BC}=\frac{BC^2}{BC}=BC\)

c: \(\tan B\cdot\sin B=\frac{AH}{HB}\cdot\frac{AH}{AB}=\frac{AH^2}{HB\cdot BA}=\frac{HB\cdot HC}{HB\cdot BA}=\frac{HC}{BA}\)

d: cosC*sinB

\(=\sin^2B=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{CH\cdot BC}{BC^2}=\frac{CH}{BC}\)

5: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

mà AH=EF

nên \(\frac{1}{EF^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

6: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EB=HE^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(FA\cdot FC=HF^2\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(HE^2+HF^2=HA^2\)

=>\(EA\cdot EB+FA\cdot FC=HA^2=HB\cdot HC\)

search : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/56467.html