a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

BC=BH+CH=4+9=13(cm)

Xét ΔACB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52\)

=>\(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AC^2=CH\cdot CB=9\cdot13=117\)

=>\(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\) (cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có tan B=\(\frac{AC}{AB}=\frac32\)

nên \(\hat{B}\) ≃56 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-56^0=34^0\)

c: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

d: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\hat{KAC}=\hat{KCA}\)

\(\hat{ANM}+\hat{KAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>MN⊥AK

a: BC=căn 15^2+20^2=25cm

AH=15*20/25=12cm

HB=15^2/25=9cm

HC=25-9=16cm

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=25/7

=>BD=75/7cm; CD=100/7cm

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

c: AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

Đặt BH = x (x > 0) => BC = (x + 6,4)

Có: AB² = BH.BC => 36 = x(x + 6,4) => 36 = x² + 6,4x => x² + 6,4x - 36 = 0

          => (x + 10)(5x - 18) = 0 => x = -10 (loại) hoặc x = 18/5 (nhận)

=> BH = 18/5cm => BC = 18/5 + 6,4 = 10cm

Có: AC² = HC.BC = 6,4 . 10 = 64 => AC = 8cm

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}=\frac{25}{576}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}cm\)

         Vậy BC = 10cm , BH = 18/5cm , AH = 24/5cm , AC = 8cm