a: Xét ΔCAB có

F,M lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>FM là đường trung bình của ΔCAB

=>FM//AB và \(FM=\frac{AB}{2}\)

FM//AB

=>FM//AE và FM//BE

\(FM=\frac{AB}{2}\)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: FM=AE=EB

Xét tứ giác AEMF có

AE//MF

AE=MF

Do đó: AEMF là hình bình hành

Hình bình hành AEMF có \(\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác FMBE có

FM//BE

FM=BE

Do đó: FMBE là hình bình hành

=>FE//BM

=>FE//MH

AEMF là hình bình hành

=>ME=AF
=>ME=1/2AC(1)

ΔHAC vuông tại H

mà HF là đường trung tuyến

nên HF=1/2AC(2)

Từ (1),(2) suy ra HF=ME

Xét tứ giác MHEF có

MH//EF

ME=HF

Do đó: MHEF là hình thang cân

c: E là trung điểm của AB

=>\(AE=EB=\frac{AB}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

F là trung điểm của AC

=>\(AF=FC=\frac{AC}{2}=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

AEMF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEMF}=AE\cdot AF=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét tam giác ABC có EA=EB ;MB=MC

suy ra ME là đường trung bình cũa tam giác ABC

suy ra ME // AC hay gócAEM=90⁰ (1)

Tương tự góc MFA=90⁰ (2)

góc EAF=90⁰ (3)

từ (1) ;(2) ;(3) suy ra AEMF là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ABMI có

MI//AB

MI=AB

Do đó; ABMI là hình bình hành

Xét tứ giác AEMF có

góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hìnhchữ nhật

b: \(AB=\sqrt{\dfrac{BC^2}{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=16\left(cm^2\right)\)

c: A đối xứng D qua BC

nên CA=CD

=>CD=AB

Bài 1:

A B C D M N P Q E F

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được: 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay \(BC=\sqrt{100}=10cm\)

Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC nên 

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot10=6\cdot8=48\)

hay \(AH=\dfrac{48}{10}=4.8cm\)

Vậy: AH=4,8cm

b) Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{EAF}=90^0\)(ΔABC vuông tại A, E∈AB, F∈AC)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)

\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒AH=EF(Hai đường chéo của hình chữ nhật AEHF)

mà AH=4,8cm(cmt)

nên EF=4,8cm

Vậy: EF=4,8cm