a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{9}{144}=\dfrac{25}{144}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{144}{25}\)

hay \(AH=\dfrac{12}{5}=2.4\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được: 

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=3^2-2.4^2=3.24\)

hay BH=1,8

Vậy: AH=2,4; BH=1,8

b) Xét (A;AH) có 

AH là bán kính

CH⊥AH tại H(gt)

Do đó: CH là tiếp tuyến của (A;AH)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

hay CB là tiếp tuyến của (A;AH)(đpcm)

c) 

1) Xét (A) có 

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

Do đó: CH=CK(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

AH là bán kính

BH⊥AH tại H(gt)

Do đó: BH là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BI(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

mà BH=BI(cmt)

và CH=CK(cmt)

nên BC=BI+CK(đpcm)

2) Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có 

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)

Ta có: \(\widehat{KAI}=\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AK,AI)

mà \(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

và \(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)(cmt)

nên \(\widehat{KAI}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot90^0=180^0\)

hay K,A,I thẳng hàng(đpcm)

a: Xét (A;AH) có

AH là bán kính

BC\(\perp\)AH tại H

Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)

b: ΔAHI cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của góc HAI

Xét ΔAHB và ΔAIB có

AH=AI

\(\widehat{HAB}=\widehat{IAB}\)

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAIB

=>\(\widehat{AHB}=\widehat{AIB}=90^0\)

=>BI là tiếp tuyến của (A;AH)

c: 

\(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90^0\)

=>\(\widehat{HAC}=90^0-\widehat{HAB}\)

\(\widehat{KAH}+\widehat{HAI}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{KAH}+2\cdot\widehat{BAH}=180^0\)

=>\(\widehat{KAH}=180^0-2\cdot\widehat{BAH}=2\left(90^0-\widehat{BAH}\right)=2\cdot\widehat{CAH}\)

=>AC là phân giác của góc KAH

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

\(\widehat{HAC}=\widehat{KAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>CH=CK

CH+HB=CB

mà CH=CK và BH=BI

nên CK+BI=BC

A B C H E F I 1

Vì  BE , BH là các tiếp tuyến của (O)

=>  AB là phân giác ^EAH

=> \(\widehat{BAH}=\frac{\widehat{EAH}}{2}\)

Tương tự \(\widehat{CAH}=\frac{\widehat{HÀF}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\frac{\widehat{EAH}+\widehat{HAF}}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{EAH}+\widehat{HÀF}}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EAH}+\widehat{HAF}=180^o\)

=> E , A , F thẳng hàng

=> EF là đường kính (A)

=> A là trung điểm EF

VÌ BE , CF là 2 tiếp tuyến của (A)

=> \(BE\perp EF\)và \(CF\perp EF\)

\(\Rightarrow BE\)// \(CF\)

=> BEFC là hình thang đáy BE , CF

Xét hình thang BEFC có A là trung điểm EF     

                                       I là trung điểm BC

=> AI là đường trung bình hình thang BEFC

=> AI // EF
Mà \(EF\perp FC\)(tiếp tuyến) 

=> \(AI\perp AF\)

=> \(\Delta AIF\)vuông tại A

=> \(sinF_1=\frac{AI}{IF}\)

Giờ cần tính AI và IF nữa là xong !

Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta\)ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow3^2+6^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=45\)

\(\Leftrightarrow BC=3\sqrt{5}\)(Do BC > 0)

Vì \(\Delta\)ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến

=> \(AI=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta\)ABC vuông tại A đường cao AH

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

           \(=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}\)

           \(=\frac{5}{36}\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{36}{5}\)

\(\Rightarrow AF^2=\frac{36}{5}\)(Do AH = À vì cùng là bán kính (A) )

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác  AIF vuông tại A

\(AI^2+AF^2=IF^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{36}{5}=IF^2\)

\(\Rightarrow IF^2=\frac{369}{20}\)

\(\Rightarrow IF=\sqrt{\frac{369}{20}}=\frac{3\sqrt{205}}{10}\)

Khi đó \(sinF_1=\frac{AI}{IF}=\frac{3\sqrt{5}}{2}:\frac{3\sqrt{205}}{10}=\frac{5}{\sqrt{41}}\)

Vậy \(sinF_1=\frac{5}{\sqrt{41}}\)

Tam giác MBH nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BH 

=> Tam giác MHB vuông tại M => MH vg AB => AMH = 90 độ 

Tam giác HNC nội tiếp đường tròn tâm O đk HC => Tam giác NHC vuông tại N 

=> ANH = 90 độ 

TG NAMH có ANH = HMA = MAN = 90 độ 

=> NAMH là HCN . Gọi MN giao AH tại O => OM = OH ; ON = OH ( tính chất HCN)

Tam giác BMH vuông tại M có MI là trung tuyến => MI = IH = 1/2 BH => Tam giác IMH cân tại I 

=> IMH = IHM (1)

Tam giác OMH có OM = OH => tam giác OMH cân tại O => OMH = OHM (2)

Từ (1) và (2) => IMH + OMH = IHM + OHM => OMI = IHO = 90 độ 

=> MN vg IM  

=> MN là tiếp tuyến đường tròn tâm I (*)

CM tương tự MN vg NK => MN là tiếp tuyến đường tròn tâm K (**)

Từ (*) và(**) => MN là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm I và K