a) Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{FAE}=90^0\)

\(\widehat{AFH}=90^0\)

\(\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ΔEHB vuông tại E(gt)

mà EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HB(N là trung điểm của HB)

nên \(EN=\dfrac{HB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

 a,Tứ giác AEHG  la hình chữ nhật.thật vậy:

xét tứ giác AEHG có goc a=90 độ ,góc E=90 độ(HE VUÔNG GÓC VỚI AB) , góc H=90 độ (AH vuông góc với BC)

suy ra tứ giác AEHG la hình chữ nhật

b,xét tam giac BHA có AH^2=AE*AB (1)

xét tam giác AHC có AH^2=AF*AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE*AB=AF*AC

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

b: ΔHEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên ME=MH

=>ΔMEH cân tại M

=>\(\hat{MEH}=\hat{MHE}\)

mà \(\hat{MHE}=\hat{HCA}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{MEH}=\hat{HCA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{FEH}=\hat{FAH}\)

=>\(\hat{FEH}=\hat{HAC}\)

\(\hat{FEM}=\hat{FEH}+\hat{MEH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

c: ΔCFH vuông tại F

mà FN là đường trung tuyến

nên FN=NH

=>ΔNFH cân tại N

=>\(\hat{NFH}=\hat{NHF}=\hat{CHF}\)

mà \(\hat{CHF}=\hat{HBA}\) (hai góc đồng vị, HF//AB)

nên \(\hat{NFH}=\hat{HBA}\)

AFHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{NFE}=\hat{NFH}+\hat{EFH}\)

\(=\hat{HBA}+\hat{HAB}=90^0\)

=>NF⊥FE

mà EM⊥ EF

nên NF//EM

=>NMEF là hình thang

Hình thang NMEF(EM//FN) có FN⊥FE

nên NMEF là hình thang vuông

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

b: ΔHEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên ME=MH

=>ΔMEH cân tại M

=>\(\hat{MEH}=\hat{MHE}\)

mà \(\hat{MHE}=\hat{HCA}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{MEH}=\hat{HCA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{FEH}=\hat{FAH}\)

=>\(\hat{FEH}=\hat{HAC}\)

\(\hat{FEM}=\hat{FEH}+\hat{MEH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

c: ΔCFH vuông tại F

mà FN là đường trung tuyến

nên FN=NH

=>ΔNFH cân tại N

=>\(\hat{NFH}=\hat{NHF}=\hat{CHF}\)

mà \(\hat{CHF}=\hat{HBA}\) (hai góc đồng vị, HF//AB)

nên \(\hat{NFH}=\hat{HBA}\)

AFHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{NFE}=\hat{NFH}+\hat{EFH}\)

\(=\hat{HBA}+\hat{HAB}=90^0\)

=>NF⊥FE

mà EM⊥ EF

nên NF//EM

=>NMEF là hình thang

Hình thang NMEF(EM//FN) có FN⊥FE

nên NMEF là hình thang vuông

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên \(DI=IH=IB\)

Xét ΔIHD có IH=ID

nên ΔIHD cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{HCA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\)

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{HAC}\)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}\)

\(=90^0\)

=>DI\(\)\(\perp\)DE

c: ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KH=KC

Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)

mà \(\widehat{KHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{KEH}=\widehat{CBA}=\widehat{HBA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)

=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>KE\(\perp\)DE

Ta có: KE\(\perp\)DE

ID\(\perp\)KE

Do đó: ID//KE

Xét tứ giác KEDI có

KE//DI

KE\(\perp\)ED

Do đó: KEDI là hình thang vuông

d: DI=1cm

mà HB=2DI

nên HB=2*1=2=2cm

EK=4cm

mà CH=2EK

nên \(CH=2\cdot4=8cm\)

BC=BH+CH

=2+8

=10cm

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10=30\left(cm^2\right)\)