a: BC vuông góc AH tại H

nên BC là tiếp tuyến của (A)

b: Xét (A) có

BH,BE là tiếp tuyến

nên AB là phân giác của góc HAE(1)

Xét (A) có

CF,CH là tiếp tuyến

nên AC là phân giác của góc HAF(2)

Từ (1), (2) suy ra góc FAE=2*90=180 độ

=>F,A,E thẳng hàng

c: \(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

A B C H D E I

a/ Xét \(\Delta ABC\) có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Ta có 

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\)  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\) 

=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)

Ta có 

\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)

\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)

=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng

b/

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có

BD//CE => BDEC là hình thang

AD=AE (bán kính (O))

IB=IC

=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a:  DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.

Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2  nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.

Thế thì $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

a: Xét (A) có

BD,BH là các tiếp tuyến

nên BD=BH và AB là phân giác của góc HAD(1)

Xét (A) có

CH,CE là các tiếp tuyến

nên CH=CE và AC là phân giác của góc HAE(2)

BH+CH=BC

=>BC=CE+BD

b: Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

c: Gọi M là trung điểm của BC

Xét hình thang BDEC có

M,A lần lượt là trung điểm của BC,DE

nên MA là đường trung bình

=>MA//CE//BD

=>MA vuông góc với BC

=>DE là tiếp tuyến của (M)

Sửa đề: Cho ΔABC vuông tại A.

a: Xét (A;AH) có

BD,BH là các tiếp tuyến

Do đó: BD=BH và AB là phân giác của góc HAD

Xét (A;AH) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{HAE}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Ta có: D,A,E thẳng hàng

AD=AE

Do đó: A là trung điểm của DE

Gọi M là trung điểm của BC

=>M là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

=>A nằm trên (M)

Xét hình thang BDEC có

A,M lần lượt là trung điểm của DE,BC

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//DB//EC

=>AM⊥DE

=>DE là tiếp tuyến tại A của (M)

=>DE là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC

c: Sửa đề: A,I,H,K cùng thuộc một đường tròn

Xét (A) có

ΔHDE nội tiếp

DE là đường kính

Do đó: ΔHDE vuông tại H

Xét tứ giác AIHK có \(\hat{IAK}+\hat{IHK}=90^0+90^0=180^0\)

nên AIHK là tứ giác nội tiếp

=>A,I,H,K cùng thuộc một đường tròn

A B C H E F I 1

Vì  BE , BH là các tiếp tuyến của (O)

=>  AB là phân giác ^EAH

=> \(\widehat{BAH}=\frac{\widehat{EAH}}{2}\)

Tương tự \(\widehat{CAH}=\frac{\widehat{HÀF}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\frac{\widehat{EAH}+\widehat{HAF}}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{EAH}+\widehat{HÀF}}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EAH}+\widehat{HAF}=180^o\)

=> E , A , F thẳng hàng

=> EF là đường kính (A)

=> A là trung điểm EF

VÌ BE , CF là 2 tiếp tuyến của (A)

=> \(BE\perp EF\)và \(CF\perp EF\)

\(\Rightarrow BE\)// \(CF\)

=> BEFC là hình thang đáy BE , CF

Xét hình thang BEFC có A là trung điểm EF     

                                       I là trung điểm BC

=> AI là đường trung bình hình thang BEFC

=> AI // EF
Mà \(EF\perp FC\)(tiếp tuyến) 

=> \(AI\perp AF\)

=> \(\Delta AIF\)vuông tại A

=> \(sinF_1=\frac{AI}{IF}\)

Giờ cần tính AI và IF nữa là xong !

Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta\)ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow3^2+6^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=45\)

\(\Leftrightarrow BC=3\sqrt{5}\)(Do BC > 0)

Vì \(\Delta\)ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến

=> \(AI=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta\)ABC vuông tại A đường cao AH

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

           \(=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}\)

           \(=\frac{5}{36}\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{36}{5}\)

\(\Rightarrow AF^2=\frac{36}{5}\)(Do AH = À vì cùng là bán kính (A) )

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác  AIF vuông tại A

\(AI^2+AF^2=IF^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{36}{5}=IF^2\)

\(\Rightarrow IF^2=\frac{369}{20}\)

\(\Rightarrow IF=\sqrt{\frac{369}{20}}=\frac{3\sqrt{205}}{10}\)

Khi đó \(sinF_1=\frac{AI}{IF}=\frac{3\sqrt{5}}{2}:\frac{3\sqrt{205}}{10}=\frac{5}{\sqrt{41}}\)

Vậy \(sinF_1=\frac{5}{\sqrt{41}}\)