Ta có:

AJIB là hình bình hành nên 

Tương tự như vậy:

BCPQ là hình bình hành nên 

CARS là hình bình hành nên 

Do đó:

  \(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \left( {\overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)\(\)(đpcm)

Ta xét tổng:

+ + + + + = = (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

=

=

=

=> ++ = + + = = (2)

Từ (1) và (2) suy ra : + + = (dpcm)

A B C I J R S P Q
Có \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}\)
\(=\left(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CS}\right)+\left(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\). ( Do tứ giác ABIJ, BCPQ, CARS là hình bình hành).
Vậy \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\).

Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3

Tọa độ N là:

x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1

Tọa độ P là;

x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm

a: A(-1;5); B(1;-2); C(3;6)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1+1;-2-5\right)=\left(2;-7\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(3+1;6-5\right)=\left(4;1\right)\)

Vì 2/4<>-7/1

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x=\frac{-1+1+3}{3}=\frac33=1\\ y=\frac{5-2+6}{3}=\frac93=3\end{cases}\)

c: A(-1;5); B(1;-2); C(3;6); D(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-7\right);\overrightarrow{DC}=\left(3-x;6-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>3-x=2 và 6-y=-7

=>x=1 và y=6+7=13

=>D(1;13)

Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD là:

\(\begin{cases}x=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\left(-1+3\right)=\frac12\cdot2=1\\ y=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(5+6\right)=\frac{11}{2}\end{cases}\)