a: \(\overrightarrow{MC}=\frac13\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>\(MC=\frac13MB\) và C nằm giữa M và B

MC+CB=MB

=>\(CB=MB-MC=MB-\frac13MB=\frac23MB\)

Ta có: \(\overrightarrow{NA}+3\cdot\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NA}=-3\cdot\overrightarrow{NC}\)

=>N nằm giữa A và C và NA=3NC

NA+NC=AC

=>AC=NC+3NC=4NC

=>\(CN=\frac14CA\)

=>\(NA=3\cdot\frac14\cdot AC=\frac34AC\)

\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}\)

=>P nằm giữa A và B và PA=PB

=>P là trung điểm của AB

=>\(AP=PB=\frac{AB}{2}\)

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}\)

\(=-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BP}=-\frac32\cdot\overrightarrow{BC}+\frac12\cdot\overrightarrow{BA}\)

\(=-\frac32\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac12\cdot\overrightarrow{BA}=-\frac32\cdot\overrightarrow{BA}-\frac32\cdot\overrightarrow{AC}+\frac12\cdot\overrightarrow{BA}\)

\(=-\overrightarrow{BA}-\frac32\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\frac32\cdot\overrightarrow{AC}\) (2)

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AP}\)

\(=-\frac34\cdot\overrightarrow{AC}+\frac12\cdot\overrightarrow{AB}=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\frac32\cdot\overrightarrow{AC}\right)\) (1)

b: Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{NP}=\frac12\cdot\overrightarrow{MP}\)

=>N,M,P thẳng hàng

Ta có \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BA}\Rightarrow\hept{\begin{cases}I\in AB\\\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\end{cases}}\). Tương tự \(\hept{\begin{cases}J\in\left[AC\right]\\\overrightarrow{AJ}=\frac{AJ}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\end{cases}}\)

Do đó \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)(đpcm).

giải giúp t câu này nha : tính vecto IG theo vecto AB và vecto AC  (các b vẽ hình ra hộ t nhé)

Khai thác giả thiết:
+ IA =2IB <=> IA = 2( AB -AI) <=> IA = -2AB <=> AI = 2AB
+ 3JA + 2JC =0 <=> 3JA + 2(JA+ AC) =0 <=> JA = ( -2/5)AC <=> AJ = (2/5) AC
Chỉ ra được vị trí các điểm I, J:
+ I đối xứng với A qua B ( tức B là trung điểm AI)
+ J nằm trên đoạn AC sao cho AJ = 2/5 AC
* Ta có:
+ GI = GA + AI = GA + 2AB
+ GJ = GA + AJ = GA + (2/5) AC
Suy ra:
GI - 5 GJ = -4 GA + 2(AB - AC) = -4GA + 2CB = -4GA + 2(GB -GC)
= -2GA +4GB ( chỗ này có áp dụng tính chất trọng tâm: GA +GB + GC =0)
Do B là trung điểm của AI => 2GB = GA +GI
Suy ra:
GI - 5 GJ = -2GA + 2GA + 2 GI
=> GI = - 5 GJ
Đẳng thức này suy ra I, J, G thẳng hàng => IJ đi qua G (đpcm)
 I, J, G thẳng hàng

Do I đối xứng A qua B \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\)

Do G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a.

\(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

b.

\(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GJ}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{15}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{GI}\)

\(\Rightarrow\) G,I,J thẳng hàng

các bn vẽ hình hộ t nha

a: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=-\frac14\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BN}}=\frac{-1}{4}:\frac{-1}{3}=\frac34\)

=>B.M,N thẳng hàng

b: \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-5}{12}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(-\frac53\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=-2\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}-\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac25\left(\frac{-5}{3}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Do đó: \(\frac{\overrightarrow{IM}}{\overrightarrow{IJ}}=\frac14:\frac25=\frac58\)

=>I,M,J thẳng hàng

\(a,\) \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}\)

\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{IC}\)

\(=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)-2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}\right)\)

\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AI}\)

\(\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(b,\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\left(1\right)\)

\(\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)\((\) \(\) \(M\)  \(trung\) \(điểm\) \(BC)\)

\(\overrightarrow{JG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IJ}=-4\overrightarrow{JG}\Rightarrow I,J,G\) \(thẳng\) \(hàng\)

Câu 1:

vecto AM+vecto BN+vecto CP

=1/2(vecto AB+vecto AC+vecto BA+vecto BC+vecto CA+vecto CB)

=1/2*vecto 0

=vecto 0

Gọi M là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm:

\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

Mà I là trung điểm AG \(\Rightarrow\overrightarrow{IG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\Rightarrow\overrightarrow{GI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)

Lại có: M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

Nên ta có:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}+6.\left(-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AM}\)

\(=2\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)