Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllloooooooooooooooonnnnnnnnnnnnnnnnnn
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
b: Xet ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
góc DBH chung
=>ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
=>BH/BC=DH/EC
=>BH*EC=DH*BC
a: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó; ΔABN vuông tại B
=>BA⊥BN
mà CH⊥BA
nên CH//BN
Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>AC⊥CN
mà BH⊥AC
nên BH//CN
Xét tứ giác BHCN có
BH//CN
BN//CH
Do đó: BHCN là hình bình hành
=>CB cắt HN tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của CB
nên M là trung điểm của HN
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)
Xét ΔAHN có
AM là đường trung tuyến
\(AG=\frac23AM\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHN
Xét ΔAHN có
G là trọng tâm
O là trung điểm của AN
DO đó: H,G,O thẳng hàng
c: Xét (O) có
\(\hat{BQA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA
=>\(\hat{BQA}=\hat{BCA}\)
mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)
nên \(\hat{BHQ}=\hat{BQH}\)
=>ΔBHQ cân tại B
mà BC là đường cao
nên BC là đường trung trực của HQ
=>H đối xứng Q qua BC
Xét (O) có
\(\hat{APB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB
=>\(\hat{APB}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{ACB}=\hat{AHE}\left(=90^0-\hat{HAE}\right)\)
nên \(\hat{AHP}=\hat{APH}\)
=>ΔAPH cân tại A
ΔAPH cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là đường trung trực của PH
=>P đối xứng H qua AC
Xét (O) có
\(\hat{CRA};\hat{CBA}\) là các góc nội tiếp chắn cung CA
=>\(\hat{CRA}=\hat{CBA}\)
mà \(\hat{CBA}=\hat{AHF}\left(=90^0-\hat{HAF}\right)\)
nên \(\hat{ARH}=\hat{AHR}\)
=>ΔAHR cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là đường trung trực của HR
=>H đối xứng R qua AB
d: Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)
nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//EF
Ax//FE
OA⊥ Ax
Do đó: OA⊥ FE
xét tứ giác BFHD có
góc BFH + góc BDH = 180
mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE
chứng minh tương tự với tứ giác CEHD
=> góc HDE = góc HCE
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC = góc BEF = 90
mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp
mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC
=> góc FIE = góc FBE + góc FCE
=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE
mà nó là 2 góc kề => nội tiếp
=> điều phải cm
tứ giác BFEC có hai góc kề nhau cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông : BFCˆ=BECˆ(=90)BFC^=BEC^(=90) ==> Tức giác BFEC là tứ giác nội tiếp
==> 4 điểm B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn.
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔABK vuông tại B
=>BK//CH
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
=>CK//BH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BC
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>AEHF nội tiếp (I)
=>IH=IE
=>ΔIHE cân tại I
=>\(\hat{IHE}=\hat{IEH}\)
mà \(\hat{IHE}=\hat{AHE}=\hat{ACD}\left(=90^0-\hat{DAC}\right)\)
nên \(\hat{IEH}=\hat{ACD}\)
ΔEBC vuông tại E
mà EK là đường trung tuyến
nên KE=KB
=>ΔKBE cân tại K
=>\(\hat{KEB}=\hat{KBE}=\hat{EBC}\)
\(\hat{IEK}=\hat{IEB}+\hat{KEB}\)
\(=\hat{ACD}+\hat{EBC}=90^0\)
=>EK⊥ EI tại E
=>EK là tiếp tuyến tại E của (I)
=>EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
Do \(B E \bot A C , \textrm{ }\textrm{ } C F \bot A B\) nên
\(\angle A E H = \angle A F H = 90^{\circ}\), suy ra \(A , E , H , F\) cùng thuộc đường tròn \(\left(\right. \omega \left.\right)\) đường kính \(A H\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(A H\) thì \(I\) là tâm \(\left(\right. \omega \left.\right)\).
Cần chứng minh \(K E\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. \omega \left.\right)\) tại \(E\) ⇔ \(K E \bot I E\).
Xét tam giác \(B H C\): \(E\) là chân đường cao, \(K\) là trung điểm \(B C\), \(I\) là trung điểm \(A H\).
Do \(B E\) là trục đối xứng biến \(H\) thành \(A\), nên biến \(I\) thành \(K\).
Suy ra \(B E\) là trung trực của \(I K\) ⇒ \(I E \bot K E\).
Vậy \(K E\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. A E H F \left.\right)\) tại \(E\). ✔️