A B C M N H G D

Gọi giao điểm của hai trung tuyến BN và CM là : G ( sửa đề tí nhé ^-^)

Tia AG cắt BC tại D ( D ∈ BC )

Ta có : BD = DC \(\Rightarrow BC=2BD=2GD\) ( Do tam giác GDC vuông tại G )

Ta cũng có : AD = 3DG

Xét tam giác AHB vuông tại H có :

\(cotB=\dfrac{BH}{AH}\)

TT , \(cotC=\dfrac{HC}{AH}\)

\(\Rightarrow cotB+cotC=\dfrac{BC}{AH}=\dfrac{2GD}{AH}\ge\dfrac{2DG}{AD}=\dfrac{2DG}{3DG}=\dfrac{2}{3}\)

Bài Làm: 

vẽ AH vuông góc với BC 

\(\Rightarrow\cot B=\frac{BH}{AH}\left(\Delta ABH;\widehat{H}=1v\right)\)

\(\Rightarrow\cot C=\frac{HC}{AH}\left(\Delta HCA;\widehat{H}=1v\right)\)

\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\left(1\right)\)

Gọi G là giao điểm 2 đường trung tuyến BM ; CN

Nếu AG cắt BC tại I thì AI - đường trung tuyến tam giác ABC

Suy ra BI = IC 

suy ra GI - đường trung tuyến tam giác GBC vuông tại G

\(\Rightarrow BC=2GI\left(2\right)\)

\(AH\le AI\le3GI\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\ge\frac{2AI}{3AI}=\frac{2}{3}\)

Vậy \(\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(AH\equiv AI\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại A

A B C M N H I G \ \ // //

có đâu, sáng con ko ăn, đói qá ms ăn, tối thì ko bao j, đói qá lấy sữa ống hoy ^^~~

Đặt AB=c; AC=b; BC=a; \(BM=m_{b};CN=m_{c}\)

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM=\frac23\cdot m_{b};CG=\frac23CN=\frac23\cdot m_{c}\)

Xét ΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{BA^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}\)

=>\(m_{b}^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{CA^2+CB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}\)

=>\(m_{c}^2=\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(\left(\frac{2}{3}m_{b}\right)^2+\left(\frac{2}{3}m_{c}\right)^2=a^2\)

=>\(\frac{4}{9}(m_{b}^2+m_{c}^2)=a^2\)

=>\(m_{b}^2+m_{c}^2=\frac{9}{4}a^2\)

=>\(\frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4} + \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4} = \frac{9}{4}a^2\)

=>\(4a^2+b^2+c^2=9a^2\)

=>\(b^2+c^2=5a^2\)

Ta có: \(S_{ABC}=\frac12\cdot bc\cdot\sin A=\frac12\cdot ac\cdot\sin B=\frac12\cdot ab\cdot\sin C\)

=>\(\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}\)

cot B=cosB/sinB

=\(=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}:\frac{2S}{ac}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

cot C=cosC/sinC

=>\(\cot C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}:\frac{2S}{ab}\)

=>\(\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}\)

\(\cot B + \cot C = \frac{2a^2}{4S} = \frac{a^2}{2S}\)

\(S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}\)

=>\(S = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - (4a^2)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - 16a^4} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2c^2 - 4a^4}\)

=>\(\cot B + \cot C = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{b^2c^2 - 4a^4}} = \frac{a^2}{\sqrt{b^2c^2 - 4a^4}}\)

Theo BĐT AM-GM, ta có:

\(bc \le \frac{b^2 + c^2}{2}\)

=>\(bc \le \frac{5a^2}{2} \implies b^2c^2 \le \frac{25a^4}{4}\)

=>\(b^2c^2 - 4a^4 \le \frac{25a^4}{4} - 4a^4 = \frac{9a^4}{4}\)

=>\(\sqrt{b^2c^2 - 4a^4} \le \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{b^2c^2 - 4a^4}} \ge \frac{2}{3a^2}\)

=>\(\cot B + \cot C = \frac{a^2}{\sqrt{b^2c^2 - 4a^4}} \ge a^2 \cdot \frac{2}{3a^2} = \frac{2}{3}\) (ĐPCM)

vẽ hình thử xem mk ko vẽ dc hình

Cho hình vẽ

A G N B H D C M

Gọi G là trọng tâm của ABC 

Trước hết tìm cot B và cot C trong hình tam giác. Việc kẻ đường cao AH cho ta ngay kết quả; 

cot B + cot C \(=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)

Lại nhận thấ \(AM\ge AH\)

Lưu ý; Do \(\frac{T}{C}\) là đường xiên lớn hơn đường vuông góc 

Hơn nữa dùng giả thiết \(BM\downarrow CN\) ta có \(GM=\frac{1}{2}BC\)

Như vậy \(BC=2GM=\frac{2AM}{3}\ge\frac{2AH}{3}v\Rightarrow cotB+cotC=\frac{BC}{AH}\ge\frac{2}{3}\)

a/ BN và CN cắt nhau tại I => \(NI=\frac{BI}{2}\) và \(MI=\frac{CI}{2}\)

+ Ta có \(AC=2CN\Rightarrow AC^2=4CN^2\)và \(AB=2BM\Rightarrow AB^2=4BM^2\)

+ Xét tg vuông BIM có \(BM^2=BI^2+MI^2\Rightarrow4BM^2=AB^2=4\left(BI^2+MI^2\right)=4\left(BI^2+\frac{CI^2}{4}\right)\)

+ Xét tg vuông CIN có \(CN^2=CI^2+NI^2\Rightarrow4CN^2=AC^2=4\left(CI^2+NI^2\right)=4\left(CI^2+\frac{BI^2}{4}\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left[\left(BI^2+CI^2\right)+\frac{BI^2+CI^2}{4}\right]\)

Mà trong tg vuông BIC có \(BC^2=BI^2+CI^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(BC^2+\frac{BC^2}{4}\right)=5BC^2\)

b/