A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$

Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.

$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.

Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra

$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.

B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$

Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.

Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.

a: BH⊥AC

CD⊥AC

Do đó: BH//CD

CH⊥AB

BD⊥BA

Do đó: CH//BD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

Xét ΔHDA có

M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA

=>MO là đường trung bình của ΔHDA

=>MO=1/2HA và MO//HA

=>HA=2MO

c: Hình bình hành BHCD trở thành hình thoi khi HB=HC

ΔHBC cân tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM⊥BC tại M

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC

mà HM⊥BC

và AH,HM có điểm chung là H

nên A,H.M thẳng hàng

Xét ΔABC có

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\hat{FHB}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC
Xét ΔFHB vuông tại F và ΔFAC vuông tại F có

\(\hat{FBH}=\hat{FCA}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

Do đó: ΔFHB~ΔFAC

=>\(\frac{HB}{AC}=\frac{FH}{FA}\)

=>\(HB\cdot FA=FH\cdot AC\)

b: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

=>CK//BH

mà BH⊥AC

nên CK⊥CA

BHCK là hình bình hành

=>BH=CK

ΔFHB~ΔFAC

=>\(\frac{FH}{FA}=\frac{HB}{AC}=\frac{CK}{CA}\)

=>\(\frac{FH}{CK}=\frac{FA}{AC}\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔACK vuông tại C có

\(\frac{AF}{AC}=\frac{FH}{CK}\)

Do đó: ΔAFH~ΔACK

a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC

b: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hbh

=>BH//CK và BK//CH

=>CK vuông góc AC

Xét ΔACK vuông tại C và ΔAFHvuông tại F có

góc CAK=góc FAH

=>ΔACK đồng dạng với ΔAFH

a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC

Xét ΔFBH vuông tại F và ΔFCA vuông tại F có

góc FBH=góc FCA

=>ΔFBH đồng dạng vơi ΔFCA

=>FH/FA=BH/AC

=>FH*AC=BH*FA

b: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

=>CK//BH

=>CK vuông góc AC

=>AK là đường kính của (O)

Xet ΔAKC vuông tại C và ΔAHF vuông tại F có

góc AKC=góc AHF(=góc ABD)

=>ΔAKC đồng dạng với ΔAHF