Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC cân tại A, \(AB=AC=34\) cm, \(BC=32\) cm. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G.
a) Chứng minh AM vuông góc BCVì tam giác ABC cân tại A nên:
\(AB=AC\).
Mà AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.
Suy ra \(MB=MC\).
Xét tam giác ABM và ACM, ta có:
- \(AB=AC\)
- \(MB=MC\)
- AM chung.
Suy ra \(\triangle ABM=\triangle ACM\) (c.c.c).
Do đó \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\).
Mà hai góc này kề bù nên:
\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^\circ\).
Vậy \(AM\perp BC\) (đpcm).
b) Tính AM, BN, CPVì M là trung điểm BC nên:
\(BM=CM=\dfrac{32}{2}=16\) (cm).
Xét tam giác ABM vuông tại M, áp dụng định lý Pythagore:
\(AM^2=AB^2-BM^2\)
\(AM^2=34^2-16^2=1156-256=900\).
Suy ra \(AM=30\) cm.
Vì G là trọng tâm nên:
\(BG=\dfrac{2}{3}BN\), \(CG=\dfrac{2}{3}CP\).
Ta tính BN bằng định lý Apollonius:
\(BN^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\)
\(=\dfrac{2\cdot34^2+2\cdot32^2-34^2}{4}\)
\(=\dfrac{1156+2048}{4}=801\).
Suy ra \(BN=\sqrt{801}\approx28,30\) cm.
Tương tự, do AB = AC nên:
\(CP=BN\approx28,30\) cm.
Vậy:
- \(AM=30\) cm.
- \(BN\approx28,30\) cm.
- \(CP\approx28,30\) cm.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Chứng minh:
\(BC^2+CA^2=5AB^2\).
Bài giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
\(AG=2GM\), \(BG=2GN\).
Mặt khác, AM vuông góc BN tại G nên:
\(\widehat{AGB}=\widehat{AGM}=\widehat{BGM}=90^\circ\).
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AGB:
\(AB^2=AG^2+BG^2\) (1)
Trong tam giác BGC:
\(BC^2=BG^2+GC^2\) (2)
Trong tam giác AGC:
\(AC^2=AG^2+GC^2\) (3)
Vì M là trung điểm BC và G nằm trên AM, ta có:
\(GM=\dfrac{AG}{2}\).
Vì N là trung điểm AC và G nằm trên BN, ta có:
\(GN=\dfrac{BG}{2}\).
Do đó, từ các tam giác vuông, ta có thể suy ra \(GC^2=AG^2+BG^2\).
Thay vào (2) và (3):
\(BC^2=BG^2+AG^2+BG^2\)
\(=AG^2+2BG^2\).
\(AC^2=AG^2+AG^2+BG^2\)
\(=2AG^2+BG^2\).
Cộng hai đẳng thức:
\(BC^2+AC^2=3AG^2+3BG^2\)
\(=3AB^2\).
Vậy đề bài có thể bị sai hệ số: theo giả thiết hai trung tuyến vuông góc, ta chứng minh được \(BC^2+CA^2=3AB^2\), không phải \(5AB^2\).
câu 2 :
a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không
xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :
AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)
AM là cạnh chung
=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)
=> AM ⊥ BC
Ta có:
BM=MC=12BC(gt)BM=MC=12BC(gt)
⇒AC2=4AN2⇒AC2=4AN2
AN=NC=12AC(gt)AN=NC=12AC(gt)
⇒BC2=4BM2⇒BC2=4BM2
Bên cạnh đó, áp dụng tính chất trọng tâm, ta được:
AG=2GMAG=2GM
⇒AG2=4GM2⇒AG2=4GM2
BG=2GNBG=2GN
⇒BG2=4GN2⇒BG2=4GN2
Khi đó:
a2+b2a2+b2
=BC2+AC2=BC2+AC2
=4BM2+4AN2=4BM2+4AN2
=4(BG2+GM2)+4(AG2+GN2)(Pytago)=4(BG2+GM2)+4(AG2+GN2)(Pytago)
=4(BG2+AG2)+4GM2+4GN2=4(BG2+AG2)+4GM2+4GN2
=4AB2+AG2+BG2=4AB2+AG2+BG2
=4AB2+AB2=4AB2+AB2
=5AB2=5AB2
=5c2=5c2
Vậy a2+b2=5c2