Gọi đường tròn (O; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Kẻ đường kính AO cắt (O) tại D.

Hai tam giác vuông ABH và ADC có ∠ABH =∠ADC (cùng chắn cung AC) nên chúng đồng dạng.

=>ABAD=AHAC=>ABAD=AHAC

=>AD=AB⋅ACAH=6⋅103=20(cm)=>AD=AB⋅ACAH=6⋅103=20(cm)

Do đó, R=AD2=202=10(cm)

P.s:Ko chắc 

\(h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\Rightarrow S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

\(R=\frac{abb}{4S}=\frac{ab^2}{\sqrt{4b^2-a^2}.a}=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}\)

\(r=\frac{S}{p}=\frac{a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{a+2b}\)

O A B C D K

Kẽ OA cắt đường tròn tại D cắt BC tại K

Ta có OA = OB = OD = R

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) vuông tại D

\(\Rightarrow BD=\sqrt{OD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\)

Ta có OK là đường trung trực của BC nên \(\hept{\begin{cases}OK⊥BC\\BK=CK\end{cases}}\)

Ta lại có: \(S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}AB.BD=\frac{1}{2}AD.BK\)

\(\Rightarrow BK=\frac{AB.BD}{AD}=\frac{8.6}{10}=4,8\)

\(\Rightarrow BC=2BK=4,8.2=9,6\)

Viết nhầm tùm lum hết. Do không thấy cái hình. Mà thôi nhìn hình sửa hộ luôn  nhé

a: Sửa đề: ΔABC cân tại A

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AH=4(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có sin B=\(\frac{AH}{AB}=\frac45\)

nên \(\hat{ABC}\) ≃53 độ

ΔBCA cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{ACB}=53^0\)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{BAC}=180^0-2\cdot\hat{ABC}=180^0-2\cdot53^0=180^0-106^0=74^0\)

b: Xét ΔBCA có \(\frac{AC}{\sin B}=2R\)

=>\(2R=5:\frac45=5\cdot\frac54=\frac{25}{4}\)

=>\(R=\frac{25}{8}\) (cm)

Ta có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a thì \(R=\frac{a\sqrt{3}}{a}\) (*)

Dựng 2 tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^0;\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)

=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp 

Nên R₁;R₂ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đềuy BDF và CDG

Theo (*) ta có: \(R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3};R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}\)

Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2\ge4\cdot BD\cdot CD\)

=> BD.CD\(\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BD=CD, nghĩa là R₁;R₂ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi D là trung điểm BC