Gọi O là trung điểm của AM

BM=BC/2=a/2

\(\Leftrightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow MO=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Xét ΔOMB vuông tại M có 

\(BO^2=OM^2+BM^2\)

\(=a^2\cdot\dfrac{3}{16}+a^2\cdot\dfrac{1}{4}=a^2\cdot\dfrac{7}{16}\)

\(\Leftrightarrow BO=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)

Xét ΔBMA có BO là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA}=2\cdot\overrightarrow{BO}\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA}\right|=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

2: ΔABC đều

=>AB=BC=CA=a và \(\hat{BAC}=\hat{ABC}=\hat{ACB}=60^0\)

\(\overrightarrow{AB}\left(2\cdot\overrightarrow{AB}-3\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=2\cdot AB^2-3\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=2a^2-3\cdot AB\cdot AC\cdot cosBAC=2a^2-3a^2\cdot cos60\)

\(=2a^2-1,5a^2=0,5a^2\)

Bài 3: 

Tham khảo:

\(=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

2IB=3IC

=>IB=3/2IC

mà IB+IC=BC=10

nên IB=3/5*10=6(cm); IC=10-6=4(cm)

(I) tiếp xúc với AB,AC

=>AI là phân giác của góc BAC

Xét ΔBAC có AI là phân giác

nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}=\frac64=\frac32\)

=>\(\frac{c}{b}=\frac32\)

Xét ΔABC có AI là đường trung tuyến

nên \(AI^2 = \frac{b^2 \cdot IB + c^2 \cdot IC}{BC} - IB \cdot IC\)

=>\(3^2 = \frac{6b^2 + 4c^2}{10} - 6 \cdot 4\)

=>\(9 = \frac{6b^2 + 4c^2}{10} - 24\)

=>\(\frac{6b^2 + 4c^2}{10} = 33 \implies 6b^2 + 4c^2 = 330\)

=>\(3b^2+2c^2=165\quad(1)\)

=>\(3b^2 + 2\left(\frac{3}{2}b\right)^2 = 165\)

=>\(3b^2 + 2 \cdot \frac{9}{4}b^2 = 165\)

=>\(3b^2 + \frac{9}{2}b^2 = 165\)

=>\(b^2=22\)

=>\(b=\sqrt{22}\)

=>\(AC=\sqrt{22}\)

\(AB=c=\frac{3}{2}\sqrt{22}\)

\(\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Áp dụng định lý pytago có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}AC\right)^2+AC^2=12^2\)

\(\Leftrightarrow AC=\dfrac{24\sqrt{13}}{13}\) cm

Suy ra \(AB=\dfrac{36\sqrt{13}}{13}\) cm

Vậy...