a: Sửa đề: BC=5cm

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-53^0=37^0\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{3\cdot4}{5}=2.4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2=2,5(cm)

c: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(BH^2=3^2-2,4^2=1,8^2\)

=>HB=1,8(cm)

ΔHAB vuông tại H

=>\(S_{HAB}=\frac12\cdot HA\cdot HB=\frac12\cdot1,8\cdot2,4=0,9\cdot2,4=2,16\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

d: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

a) Ta có: 

ˆABD=ˆCBD=\(\frac{\widehat{ABC}}{2}\)=120^∘: 2=60^∘

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.

Lại có:

ˆBAE=ˆABD=60^∘(so le trong)

ˆCBD=ˆAEB=60^∘ (đồng vị)

Suy ra tam giác ABE  đều 

⇒AB=BE=EA=6(cm)(1)

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:

\(\frac{BC}{CE}\)=\(\frac{DC}{AE}\)⇒BD=\(\frac{BC.AE}{CE}\)=\(\frac{12.6}{18}\)=4(cm)

b) Ta có: 

MB=MC=\(\frac{1}{2}\).BC=\(\frac{1}{2}\).12=6(cm)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM=AB⇒BM=AB⇒ ∆ABM cân tại B.

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy BD⊥AM

tk mik nha

C M B E D A

a) Ta có: 

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CB tại E 

Lại có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{ABD}=60^o\) ( so le trong ) 

\(\widehat{CBD}=\widehat{AEB}=60^o\) ( đồng vị )

Suy ra tam giác ABE  đều 

=> AB = BE = EA = 6 ( cm ) (1)

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 ( cm )

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra :

\(\frac{BC}{CE}=\frac{BD}{AE}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{BC.AE}{CE}=\frac{12.6}{18}=4\left(cm\right)\)

b) Ta có: 

\(MB=MC=\frac{1}{2}.BC=\frac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM = AB => Tam giác ABM cân tại B.

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân )

 Vậy \(BD\perp AM\)