1: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{B}\) chung

Do đó:ΔHBA\(\sim\)ΔABC

2: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=7.2\left(cm\right)\)

a) xét  tam giác ABH và tam giác CBA

có góc B chung

góc AGB= góc BAC=90

=>tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA

=>\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}\)

b) áp dụng định lý pytago có

AB²+AC²=BC²

Thay AB=8;AC=6

=>BC=10

Theo câu a)có:\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}\)

thay số \(\dfrac{8}{10}=\dfrac{AH}{6}\)

=>AH=4,8

hình

Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC

Suy ra: HF/HE=HB/HC

hay HF/HB=HE/HC

Xét ΔFHE và ΔBHC có 

HF/HB=HE/HC

\(\widehat{FHE}=\widehat{BHC}\)

Do đó: ΔFHE\(\sim\)ΔBHC

a: H đối xứng E qua AB

=>AB là đường trung trực của HE

=>AB⊥HE tại M và M là trung điểm của HE

H đối xứng F qua AC
=>AC là đường trung trực của HF

=>AC⊥HF tại N và N là trung điểm của HF

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAME vuông tại M có

AM chung

MH=ME

Do dó: ΔAMH=ΔAME

=>\(\hat{MAH}=\hat{MAE}\)

=>AM là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔANF vuông tại N có

AN chung

NH=NF

Do đó: ΔANH=ΔANF

=>\(\hat{NAH}=\hat{NAF}\)

=>AN là phân giác của góc HAF

=>\(\hat{HAF}=2\cdot\hat{HAC}\)

ΔANH=ΔANF

=>AH=AF(1)

ΔAMH=ΔAME

=>AH=AE(2)

Từ (1),(2) suy ra AF=AE

\(\hat{HAE}+\hat{HAF}=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)\)

=>\(\hat{EAF}=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>E,A,F thẳng hàng

mà AF=AE
nên A là trung điểm của EF

=>E đối xứng F qua A

c: ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên IA=IC

=>\(\hat{IAC}=\hat{ICA}=\hat{ACB}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{ANM}=\hat{AHM}\)

mà \(\hat{AHM}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

\(\hat{ANM}+\hat{IAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AI⊥MN