Xét ΔAMB và ΔKMC có:

AM = MK (giả thiết)

BM = MC (vì M là trung điểm của BC)

∠AMB = ∠KMC (hai góc đối đỉnh)

⇒ ΔAMB = ΔKMC (c.g.c)

⇒ ∠ABM = ∠KCM (hai góc t.ư) và AB = CK

⇒ CK // AB (có cặp góc so le trong bằng nhau

+ Ta có: ∠BAM + ∠CAM = 110º ⇒ ∠AKC + ∠CAM = 110º (1)

Xét tam giác ACK có:

∠AKC + ∠CAM + ∠ACK = 180º ( tổng ba góc trong một tam giác). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ACK = 180º - 110º = 70º

a) Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

BM = CM (gt)

AM =DM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)  (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta AMB=\Delta CMD\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên AB //CD.

c) Xét tam giác AME có MH là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác AME cân tại M.

Suy ra MA = ME

Lại có MA = MD nên ME = MD.

d) Xét tam giac AED có MA = ME = MD nê tam giác AED vuông tại E.

Suy ra ED // BC

Xét tam giác cân MED có MK là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(MK\perp ED\Rightarrow MK\perp BC\)

NGU

Ta có $MB=MC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$.

Lại có $MA=MD$ và $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ nên $M$ là trung điểm của $AD$.

Suy ra trong tứ giác $ABDC$, hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:

$ABDC$ là hình bình hành.

Do đó: $CD\parallel AB$.

Mặt khác, $H$ là trung điểm của $AE$ vì $E$ thuộc tia đối của tia $HA$ và $HE=HA$.

Xét tam giác $AED$, ta có:

$H$ là trung điểm của $AE$,

$K$ là trung điểm của $ED$.

Suy ra: $HK\parallel AD$ (đường trung bình của tam giác $AED$).

Mà $A,D,M$ thẳng hàng nên: $HK\parallel AM$.

Xét tam giác $AED$, vì $H$ là trung điểm của $AE$ và $K$ là trung điểm của $ED$ nên: $HK=\dfrac12AD$.

Do $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AM=\dfrac12AD$.

Suy ra: $HK=AM$.

Lại có: $HK\parallel AM$.

Vậy tứ giác $AHKM$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên:

$AHKM$ là hình bình hành.

Suy ra: $KM\parallel AH$.

Mà: $AH\perp BC$.

Do đó: $\boxed{KM\perp BC}$.

Gọi H là giao điểm của MA và DE.

ΔCAK = ΔAED nên ∠A1 = ∠E. (3)

+) Ta có: ∠A1 + ∠CAE + ∠A2 = 180º

Thay số: ∠A1 + 90º + ∠A2 = 180º ⇒ ∠A1 + ∠A2 = 90º (4)

Từ (3) và( 4) suy ra: ∠A2 + ∠E = 90º

Do đó MA ⊥ DE.