Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Trong tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
AB = AC (tam giác ABC cân);
AD chung;
BD = DC (D là trung điểm của BC).
Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.
Suy ra: AD là đường trung trực của tam giác ABC.
Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.
Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
b)
Ta có: \(AD \bot BC\).
H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, D thẳng hàng.
Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.
Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).
Nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Xét tam giác BAD và tam giác CAD có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);
AD chung;
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (\(AD \bot BC\)).
\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).
Do đó, tam giác ABC cân tại A
Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
A B C H M O E I G K
a/
O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có
\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BE\perp AB\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)
=> BE//CH (1)
Ta có
\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CE\perp AC\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
=> CE//BH (2)
Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME
Xét tg AHE có
MH=ME (cmt)
OA=OE
=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)
b/
Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)
\(AH\perp BC\)
=> OM//AH
Xét tg AGH có
IA=IG (gt)
KH=KG (gt)
=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)
=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)
IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)
G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)
=> IG=GM (6)
Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)
c/
Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE
MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE
OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE
=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)
Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)
\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng
d/
Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO
a: Trên tia đối của tia OA, lấy E sao cho OA=OE
=>O là trung điểm của AE
Ta có: O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC
=>OA=OB=OC
mà OA=OE
nên OB=OC=OA=OE
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là giao điểm của AG và BC
Do đó: M là trung điểm của BC
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC
H là trực tâm của ΔABC nên HA⊥BC
mà OM⊥BC
nên OM//AH
b: Xét ΔABC có
G là trọng tâm
AM là đường trung tuyến
Do đó: AG=2GM
mà \(AG=2AI=2IG\) (I là trung điểm của AG)
nên AI=IG=GM
Trên tia đối của tia IK, lấy F sao cho IF=IK
Xét ΔIFA và ΔIKG có
IA=IG
\(\hat{FIA}=\hat{KIG}\) (hai góc đối đỉnh)
IA=IG
Do đó: ΔIFA=ΔIKG
=>FA=KG
mà KG=KH
nên FA=KH
ΔIFA=ΔIKG
=>\(\hat{IFA}=\hat{IKG}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FA//GK
=>FA//KH
Xét ΔKFH và ΔAHF có
KH=FA
\(\hat{KHF}=\hat{AFH}\) (hai góc so le trong, AF//KH)
HF chung
DO đó: ΔKFH=ΔAHF
=>KF=AH
mà \(KI=IF=\frac{KF}{2}\)
nên \(KI=IF=\frac{AH}{2}\)
IK//AH
OM//AH
Do đó: IK//OM
Xét ΔCAE có
CO là đường trung tuyến
BO=AE/2
Do đó: ΔCAE vuông tại C
=>CA⊥CE
mà BH⊥CA
nên BH//CE
Xét ΔBAE có
BO là đường trung tuyến
BO=AE/2
Do đó: ΔBAE vuông tại B
=>BA⊥BE
mà CH⊥BA
nên CH//BE
Xét ΔBHC và ΔCEB có
\(\hat{CBH}=\hat{ECB}\) (hai góc so le trong, BH//CE)
BC chung
\(\hat{HCB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, HC//BE)
Do đó: ΔBHC=ΔCEB
=>BH=CE và CH=EB
Xét ΔMHB và ΔMEC có
MB=MC
\(\hat{MBH}=\hat{MCE}\)
BH=CE
Do đó: ΔMBH=ΔMCE
=>\(\hat{BMH}=\hat{CME}\)
mà \(\hat{BMH}+\hat{HMC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{HMC}+\hat{CME}=180^0\)
=>H,M,E thẳng hàng
ΔMBH=ΔMCE
=>MH=ME
=>M là trung điểm của HE
Xét ΔHAE có O,M lần lượt là trung điểm của EA,EH
=>OM là đường trung bình của ΔHAE
=>\(OM=\frac12AH\)
=>OM=IK
Xét ΔGKI và ΔGOM có
IG=GM
\(\hat{GIK}=\hat{GMO}\) (hai góc so le trong, KI//OM)
IK=OM
Do đó: ΔGKI=ΔGOM
c: ΔGKI=ΔGOM
=>\(\hat{KGI}=\hat{OGM}\)
mà \(\hat{KGI}+\hat{KGM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{KGM}+\hat{OGM}=180^0\)
=>K,G,O thẳng hàng
mà H,K,G thẳng hàng
nên H,K,G,O thẳng hàng
=>H,G,O thẳng hàng
d: Xét ΔAHE có
HO,AM là các đường trung tuyến
HO cắt AM tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHE
=>GH=2GO
) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD
Xét Δ BCD có M là trung điểm BC, O là trung điểm CD OM là đường trung bình của Δ BCD
OM=12DB và OM // DB
mà OM⊥BC ( OM là đường trung trực của BC ) DB⊥BC
mà AH⊥BC( AH là đường cao của ΔABC ) AH // DB
Xét ΔABH và ΔBAD có
HABˆ=DBAˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )
AB chung
ABHˆ=BADˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )
ΔABH=ΔBAD( g-c-g )
AH = BD mà OM=12DB OM=12AH
AH = 2 OM ( đpcm )
b) Gọi G' là giao điển của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A
Xét Δ AG'H có P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A PQ là đường trung bình của \large\Delta AG'H
PQ=12AH và PQ // AH
Do PQ=12AH mà OM=12AH PQ = OM
Do AH // OM ( cùng ⊥BC ) mà PQ // AH PQ // OM
Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có
PQG′ˆ=OMG′ˆ( 2 góc so le trong do PQ // OM)
PQ = OM (c/m trên )
QPG′ˆ=MOG′ˆ ( 2 góc so le trong do PQ //OM )
ΔPQG′=ΔOMG′( g-c-g )
G'Q = G'M và G'P = G'O
Ta có G'Q = G'M mà G′Q=12G′A( Q là trung điểm G'A ) G′M=12G′Amà G'M + G'A = AM
G′A=23AM mà AM là trung tuyến của ΔABC
G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC G′≡ G
mà G′∈OH G∈OH O, H, G thẳng hàng ( đpcm )
Hên xui nghe bạn ^ ^
a)
Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);
H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);
I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).
Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.
Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
b)
Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).
Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)
AD chung;
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.
Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.