Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có

AO là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,O thẳng hàng

=>\(AG=\frac23AO=\frac23\cdot\frac12\cdot AC=\frac13\cdot AC\)

=>\(CG=\frac23CA\)

\(\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CG}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{DC}+\frac23\cdot\overrightarrow{CA}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\left(-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}-\frac23\cdot\overrightarrow{AD}-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(=\frac{-1}{6}\cdot\overrightarrow{AB}-\frac23\cdot\overrightarrow{AD}\)

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

Mặt khác AM là trung tuyến nên: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) (1)

K là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AK}\\\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\end{matrix}\right.\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=2\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AN}\right)\)

a: \(\overrightarrow{IB}=2\cdot\overrightarrow{IC}\)

=>C là trung điểm của IB

=>IC=CB=1/2IB

\(\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BK}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{CB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BA}=2\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(=-2\cdot\overrightarrow{AC}+2\cdot\overrightarrow{AB}-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}=-2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac32\cdot\overrightarrow{AB}\)

b: JA=2JC

=>\(JA=\frac23AC;JC=\frac13AC\)

\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CB}+\frac13\cdot\overrightarrow{CA}\)

\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{CA}=\frac43\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\frac43\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac23\left(\frac32\cdot\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac23\cdot\overrightarrow{IK}\)

=>I,J,K thẳng hàng

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EC}\)

=>E nằm giữa A và C và AE=2/3EC

Ta có: AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)

=>\(AC=\dfrac{2}{3}EC+EC=\dfrac{5}{3}EC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}EC}{\dfrac{5}{3}EC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(AE=\dfrac{2}{5}AC\)

=>\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)

\(=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)

b: \(\left|\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}\right|=\left|\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\\\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IA}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2\cdot\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{0}\\2\cdot\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}I\equiv G\\I\equiv A\end{matrix}\right.\)