Gọi độ dài các đường cao lần lượt là x(cm), y(cm), z(cm)

(Điều kiện: x>0; y>0; z>0)

Độ dài các đường cao tỉ lệ nghịch với độ dài các cạnh

=>4x=5y=6z

=>\(\frac{4x}{60}=\frac{5y}{60}=\frac{6z}{60}\)

=>\(\frac{x}{15}=\frac{y}{12}=\frac{z}{10}\)

mà 2x+3y-4z=52

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{15}=\frac{y}{12}=\frac{z}{10}=\frac{2x+3y-4z}{2\cdot15+3\cdot12-4\cdot10}=\frac{52}{26}=2\)

=>\(\begin{cases}x=2\cdot15=30\\ y=2\cdot12=24\\ z=2\cdot10=20\end{cases}\) (nhận)

Vậy: độ dài các đường cao lần lượt là 30(cm), 24(cm), 20(cm)

Theo bài ra ta có:

\(3h_a=4h_b=6h_c\left(Sabc\right)\)
\(\Rightarrow Sabc=2h_a=\frac{5}{2}h_b=3h_c\)\(=\frac{h_a}{\frac{1}{2}}=\frac{h_b}{\frac{2}{5}}=\frac{h_c}{\frac{1}{3}}=\frac{h_a-h_b-h_c}{\frac{1}{2}-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}}=\frac{26}{\frac{1}{2}}=26.2=52\left(m\right)\)

Vậy diện tích mảnh vườn là 52m
 

Gọi diện tích miếng đất là \(S\left(m^2\right)\)

Khi đó \(h_a=\frac{2S}{3},h_b=\frac{2S}{4},h_c=\frac{2S}{6}\)

\(h_a-h_b+h_c=25\)

\(\Rightarrow\frac{2S}{3}-\frac{2S}{4}+\frac{2S}{6}=25\)

\(\Leftrightarrow S=25\div\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)=50\left(m^2\right)\)

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{S_{OBC}}{S_{ABC}}=\frac{x}{h_A}\)

\(\frac{S_{OAC}}{S_{ABC}}=\frac{y}{h_B}\)

\(\frac{S_{OAB}}{S_{ABC}}=\frac{z}{h_C}\)

\(\Rightarrow \frac{x}{h_A}+\frac{y}{h_B}+\frac{z}{h_C}=\frac{S_{OBC}+S_{OAC}+S_{OAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có đpcm.