Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường trung tuyến

AD,BE,CF đồng quy tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>AG=2GD; AG=2/3AD; BG=2/3BE; CG=2/3CF

Trên tia đối của tia DG, lấy M sao cho DG=DM

=>D là trung điểm của GM

=>GM=2GD

mà AG=2GD

nên AG=GM

Xét tứ giác BGCM có

D là trung điểm chung của BC và DM

=>BGCM là hình bình hành

=>BM=CG; BG=CM

=>Tam giác MGC chính là tam giác được tạo thành bởi ba cạnh có số đo bằng ba cạnh GA,GB,GC

EA=EC

=>\(S_{BEA}=S_{BEC};S_{GEA}=S_{GEC}\)

=>\(S_{BEA}-S_{GEA}=S_{BEC}-S_{GEC}\)

=>\(S_{BGA}=S_{BGC}\left(1\right)\)

TA có: FA=FB

=>\(S_{CFA}=S_{CFB};S_{GFA}=S_{GFB}\)

=>\(S_{CFA}-S_{GFA}=S_{CFB}-S_{GFB}\)

=>\(S_{CGA}=S_{CGB}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{BGC}\)

mà \(S_{AGB}+S_{AGC}+S_{BGC}=S_{ABC}\)

nên \(S_{AGC}=\frac{S_{ABC}}{3}\)

GA=GM

=>\(S_{MGC}=S_{AGC}=\frac13\cdot S_{ABC}\)

Gọi tam giác được tạo thành bởi các cạnh có số đo bằng các cạnh AD,BE,CF là ΔXYZ

mà GA/AD=GB/BE=GC/CF=2/3

nên ΔMGC~ΔXYZ theo tỉ số k=2/3

=>\(\frac{S_{MGC}}{S_{XYZ}}=\left(\frac23\right)^2=\frac49\)

=>\(S_{MGC}=\frac49\cdot S_{XYZ}\)

=>\(\frac49\cdot S_{XYZ}=\frac13\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{XYZ}=S_{ABC}\cdot\left(\frac13:\frac49\right)=\frac34\cdot S_{ABC}\)

=>s'=3/4s

a: Ta có: DB=DC

=>\(S_{ADB}=S_{ADC};S_{GDB}=S_{GDC}\)

=>\(S_{ADB}-S_{GDB}=S_{ADC}-S_{GDC}\)

=>\(S_{AGB}=S_{AGC}\) (1)

Ta có; EA=EC

=>\(S_{BEA}=S_{BEC};S_{GEA}=S_{GEC}\)

=>\(S_{BEA}-S_{GEA}=S_{BEC}-S_{GEC}\)

=>\(S_{BGA}=S_{BGC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{GBC}\)

mà \(S_{AGB}+S_{AGC}+S_{BGC}=S_{ABC}\)

nên \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{BGC}=\frac{S_{ABC}}{3}\)

D là trung điểm của BC

=>\(S_{BGD}=\frac12\cdot S_{BGC}\)

M là trung điểm của BG

=>\(GM=\frac12GB\)

=>\(S_{GDM}=\frac12\cdot S_{BGD}=\frac14\cdot S_{BGC}\)

=>\(S_{GDM}=\frac14\cdot\frac13\cdot S_{ABC}=\frac{1}{12}\cdot S\)

=>\(S_{GDM}=\frac{S}{12}\)