A B C M N

a, xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB=AC

AM chung

BM=CM

=> tam giác ABM= tam giác ACM (c.c.c)

b,

Tam giác ABM= tam giác ACM => góc BAM= góc CAM

=> AM là tia phân giác của góc BAC

c, AM là tia phân giác của góc BAC => AN là tia phân giác của góc BAC

=> A, M, N thẳng hàng

Mình nghĩ khó mà có người giải hết chỗ bài tập đấy của bạn, nhiều quá

3/ (Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

Cạnh AC chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(g. c. g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

và AB = DC (hai cạnh tương ứng)

b/ Ta có AD = BC (cm câu a)

và \(AN=\frac{1}{2}AD\)(N là trung điểm AD)

và \(MC=\frac{1}{2}BC\)(M là trung điểm BC)

=> AN = MC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: BM = ND

\(\Delta AMB\)và \(\Delta CND\)có:

BM = ND (cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{NDC}\)(AB // CD; ở vị trí so le trong)

AB = CD (\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta CND\)(c. g. c)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCD}\)(hai góc tương ứng)

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}\)(\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=\widehat{ACN}-\widehat{NCD}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACN}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ANC}\)(2)

và AN = MC (cmt) (3)

=> \(\Delta MAC=\Delta NAC\)(g, c. g)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ \(\Delta AOB\)và \(\Delta COD\)có:

\(\widehat{BAO}=\widehat{OCD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

AB = CD (cm câu a)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ODC}\)(AD // BC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta AOB\)= \(\Delta COD\)(g. c. g)

=> OA = OC (hai cạnh tương ứng)

và OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d/ \(\Delta ONA\)và \(\Delta MOC\)có:

\(\widehat{AON}=\widehat{MOC}\)(đối đỉnh)

OA = OC (O là trung điểm AC)

\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(AM // NC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ONA\)= \(\Delta MOC\)(g. c. g)

=> ON = OM (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm MN

=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)

A B C M N

ta có tam giác ABC cân tại A ( AB=AC)  suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

lại có tam giác MBC cân tại M ( MB =MC ) suy ra \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)

suy ra \(\widehat{ABC}-\widehat{MBC}=\widehat{ACB}-\widehat{MCB}\)( vì tia MB nằm giữa 2 tia BA và BC ,  tia MC nằm giữa 2 tia CB và CA )

hay \(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)

xét \(\Delta ABM\)và  \(\Delta ACM\)có  \(\hept{\begin{cases}AMchung\\AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

do đó \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)( 2 góc tương ứng )

mà tia  AM nằm giữa 2 tia AB và AC suy ra AM là phân giác góc BAC (1)

b)   xét \(\Delta ANB\)và \(\Delta ANC\)có \(\hept{\begin{cases}ANchung\\NB=NC\left(gt\right)\\AB=AC\left(gt\right)\end{cases}}\)

do đó \(\Delta ANB=\Delta ANC\left(c.c.c\right)\)

suy ra \(\widehat{BAN}=\widehat{CAN}\)( 2 góc tương ứng )

mà tia AN nằm giữa 2 tia AB và AC do đó AN là phân giác góc BAC (2)

từ (1) và (2)  suy ra AM trùng AN hay A;M:N thẳng hàng

c) xét \(\Delta MNB\)và \(\Delta MNC\)có \(\hept{\begin{cases}MB=MC\left(gt\right)\\\widehat{MBN}=\widehat{MCN}\left(cmt\right)\\BN=NC\end{cases}}\)

do đó tam giác MNB = tam giác MNC (c.g.c)

do đó \(\widehat{MNB}=\widehat{MNC}\)và \(\widehat{MNB}+\widehat{MNC}=180^o\)hay \(\widehat{MNB}=\widehat{MNC}=\frac{180^o}{2}=90^o\)hay MN vuông góc với BC và BN = NC hay MN là trung trực BC

#Tự vẽ hình nhé bạn#

a ) Xét \(\Delta\)AMB và \(\Delta\)AMC có :

• AB = AC ( gt )
• AM : cạnh chung
• MB = MC ( gt )

\(\Rightarrow\Delta\)AMB = \(\Delta\)AMC ( c - c - c )

\(\Rightarrow\)BÂM = CÂM ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\)AM là tia phân giác của BÂC ( 1 )

b ) Ta có : N là trung điểm BC

\(\Rightarrow\)AN là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC

\(\Delta\)ABC cân tại A có AN là đường trung tuyến \(\Rightarrow\)AN cũng là đường phân giác của BÂC ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)Ba điểm A, M, N thẳng hàng

c ) Ta có : \(\Delta\)MBC cân tại M ( vì MB = MC ) mà có MN là đường trung tuyến 

\(\Rightarrow\)MN cũng là đường trung trực của BC

a) Xét t/g AMC và t/g AMB có:

AC = AB (gt)

AM là cạnh chung

MC = MB (gt)

Do đó, t/g AMC = t/g AMB (c.c.c)

=> CAM = BAM (2 góc tương ứng)

=> AM là phân giác BAC ( đpcm)

b) Xét t/g ANC và t/g ANB có:

AC = AB (gt)

AN là cạnh chung

NC = NB (gt)

Do đó t/g ANC = t/g ANB (c.c.c)

=> CAN = BAN (2 góc tương ứng)

=> AN là phân giác BAC

Như vậy, AM và AN đều là phân giác của BAC

Nên AM và AN trùng nhau hay A,M,N thẳng hàng (đpcm)

c) t/g ANC = t/g ANB (câu b)

=> ANC = ANB (2 góc tương ứng)

Mà ANC + ANB = 180^o ( kề bù)

Nên ANC = ANB = 90^o

=> AN _|_ BC hay MN _|_ BC

Mà CN = BN (gt)

Do đó, MN là đường trung trực của BC ( đpcm)