BÀi 1: XétΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{4+9-16}{4\cdot3}=\frac{-3}{4\cdot3}=\frac{-1}{4}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cosBAC\)

\(=2\cdot3\cdot\frac{-1}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac32\)

BÀi 2:

a: A(1;-1); B(5;-3); C(2;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(5-1;-3+1\right)=\left(4;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(2-1;0+1\right)=\left(1;1\right)\)

Vì 4/1<>-2/1

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

\(AB=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(2-5\right)^2+\left(0+3\right)^2}=3\sqrt2\)

Chu vi tam giác ABC là:

AB+BC+AC

\(=2\sqrt5+\sqrt2+3\sqrt2=2\sqrt5+4\sqrt2\)

Xét ΔCAB có \(CA^2+CB^2=AB^2\)

nên ΔCAB vuông tại C

=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\sqrt2\cdot3\sqrt2=3\)

b: \(\overrightarrow{CM}=2\cdot\overrightarrow{AB}-3\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>\(\begin{cases}x-2=2\cdot4-3\cdot1\\ y-0=2\cdot\left(-2\right)-3\cdot1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2=8-3\\ y=-4-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=5+2=7\\ y=-7\end{cases}\)

=>M(7;-7)

c: ΔCAB vuông tại C

=>ΔCAB nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB

Tọa độ I là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{-1+\left(-3\right)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}\)

=>I(3;-2)

a) Xét tứ giác BEDC có:

∠BEC = 90o (CE là đường cao)

∠BDC = 90o (BD là đường cao)

=> Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔAEC và ΔADB có:

∠BAC là góc chung

∠AEC = ∠BDA = 90o

=> ΔAEC ∼ ΔADB (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\text{AE.AB = AC.AD}\)

c) Ta có:

∠FBA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FB⊥AB

Lại có: CH⊥AB (CH là đường cao)

=> CH // FB

Tương tự,( FCA) = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FC⊥AC

BH là đường cao => BH ⊥AC

=> FC // BH

Xét tứ giác CFBH có:

CH // FB

FC // BH

=> Tứ giác CFBH là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của BC

=> I cũng là trung điểm của FH

Hay F, I, H thẳng hàng.

2) Diện tích xung quanh của hình trụ:

S = 2πRh = 2πR2 = 128π (do chiều cao bằng bán kính đáy)

=> R = 8 cm ; h = 8cm

Thể tích của hình trụ là

V = πR2 h = π.82.8 = 512π (cm3)

HÌNH TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA VỚI LẠI MIK TRẢ LỜI TOÀN CÂU KHÓ MÀ CHẲNG CÓ CÁI GP NÀO

VCM JACK  trả lok đ nè

Ta có \(S=\dfrac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Rightarrow S^2=\dfrac{abcpr}{4R}=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2r}{R}=\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{abc}\)

Theo giả thiết \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{2r}{R}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=4abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=6abc\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\ge6abc\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều

a: vecto AB=(1;3)

vecto AC=(9;-3)

Vì vecto AB*vecto AC=1*9+3*(-3)=0

nên ΔABC vuông tại A

b: ABCD là hình chữ nhật

=>vecto AB=vecto DC

=>10-x=1 và -2-y=3

=>x=9 và y=-5

a: \(a^4=b^4+c^4\)

=>\(a^4>c^4\) và \(a^4>b^4\)

=>a>c và a>b

=>a là cạnh lớn nhất

=>\(\hat{BAC}\) là góc lớn nhất

\(a^4=b^4+c^4\)

=>\(a^4 = (b^2+c^2)^2 - 2b^2c^2 < (b^2+c^2)^2 \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2\)

=>\(b^2+c^2-a^2>0\)

=>\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) >0

=>\(\hat{A}<90^0\)

mà \(\hat{BAC}\) đã là góc lớn nhất trong ΔABC

nên \(\hat{ABC}<90^0;\hat{ACB}<90^0\)

b: Xét ΔABC có \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\) ; \(\sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}\)

Xét ΔABC có \(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

\(\tan B \cdot \tan C = \frac{\sin B \cdot \sin C}{\cos B \cdot \cos C}\)

\(=\frac{\frac{b}{2R} \cdot\frac{c}{2R}}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \cdot\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}\)

\(=\frac{\frac{bc}{4R^2}}{\frac{(a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)}{4a^2bc}}=\frac{a^2 b^2 c^2}{R^2 (a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)}\)

\(=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\cdot\left\lbrack(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\right\rbrack}\)

\(=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\left\lbrace\left[a^2+(c^2-b^2)\right]\left[a^2-(c^2-b^2)\right]\right\rbrace}\)

\(=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\cdot\left\lbrack a^4-\left(c^2-b^2\right)^2\right\rbrack}=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\cdot\left\lbrack a^4-(c^4-2b^2c^2+b^4)\right\rbrack}\)

\(=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\cdot\left\lbrack a^4-(b^4+c^4)+2b^2c^2\right\rbrack}=\frac{a^2b^2c^2}{R^2\cdot2b^2c^2}=\frac{a^2}{2R^2}=2\cdot\sin^2A\)

⇒ ABCD là hình bình hành.

⇒ hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (ĐPCM).

a: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{1-2+6}{3}=\frac{7-2}{3}=\frac53\\ y=\frac{8-1+3}{3}=\frac{11-1}{3}=\frac{10}{3}\end{cases}\)

=>G(5/3;10/3)

H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB; BH⊥AC; AH⊥BC

A(1;8); B(-2;-1); C(6;3); H(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;-1-8\right)=\left(-3;-9\right)\) ; \(\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-1;3-8\right)=\left(5;-5\right)\) ; \(\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) (BH⊥AC)

=>5(x+2)+(-5)(y+1)=0

=>x+2-(y+1)=0

=>x+2-y-1=0

=>x-y+1=0

=>x=y-1

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) (CH⊥AB)

=>-3(x-6)+(-9)(y-3)=0

=>(x-6)+3(y-3)=0

=>x-6+3y-9=0

=>x+3y-15=0

=>x=-3y+15

=>-3y+15=y-1

=>-4y=-16

=>y=4

=>x=y-1=4-1=3

=>H(3;4)

I(x;y); A(1;8); B(-2;-1); C(6;3)

\(IA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-8\right)^2\)

\(IB^2=\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

\(IC^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2-16y+64=x_{}^2+4x+4+y^2+2y+1\\ x^2-2x+1+y^2-16y+64=x^2-12x+36+y^2-6y+9\end{cases}\)

=>-2x-16y+65=4x+2y+5 và -2x-16y+65=-12x-6y+45

=>-2x-4x-16y-2y=5-65 và -2x-16y+12x+6y=45-65

=>-6x-18y=-60 và 10x-10y=-20

=>x+3y=10 và x-y=-2

=>x+3y-x+y=10+2

=>4y=12

=>y=3

x-y=-2

=>x=y-2=3-2=1

=>I(1;3)

b: I(1;3); H(3;4); G(5/3;10/3)

\(\overrightarrow{IH}=\left(3-1;4-3\right)=\left(2;1\right);\overrightarrow{IG}=\left(\frac53-1;\frac{10}{3}-3\right)=\left(\frac23;\frac13\right)\)

Vì \(2:\frac23=1:\frac13\)

nên I,H,G thẳng hàng