a: M là trung điểm của AC

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{C}=2\cdot x_{M}\\ y_{A}+y_{C}=2\cdot y_{M}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1+x_{C}=2\cdot\frac12=1\\ 1+y_{C}=2\cdot\frac{-3}{2}=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{C}=0\\ y_{C}=-3-1=-4\end{cases}\)

=>C(0;-4)

b: A(1;1); B(-3;5)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-1;5-1\right)=\left(-4;4\right)=\left(-1;1\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

A(1;1); C(0;-4)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(0-1;-4-1\right)=\left(-1;-5\right)=\left(1;5\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-5;1)

Phương trình đường thẳng AC là:

-5(x-1)+1(y-1)=0

=>-5x+5+y-1=0

=>-5x+y+4=0

B(-3;5); C(0;-4)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(0+3;-4-5\right)=\left(3;-9\right)=\left(1;-3\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (3;1)

Phương trình đường thẳng BC là:

3(x+3)+1(y-5)=0

=>3x+9+y-5=0

=>3x+y+4=0

c:

B(-3;5); AC: -5x+y+4=0

Khoảng cách từ B đến AC là:

\(\frac{\left|-3\cdot\left(-5\right)+5\cdot1+4\right|}{\sqrt{\left(-5\right)^2+1^2}}=\frac{\left|15+5+4\right|}{\sqrt{26}}=\frac{24}{\sqrt{26}}\)

1.

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(-5;-3\right)\)

Phương trình BC qua B và vuông góc đường cao kẻ từ A có dạng:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ M thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y+1=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)

M là trung điểm BC \(\Rightarrow C\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

2.

Do C thuộc AC nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;2c+3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{c+4}{2};\dfrac{2c+5}{2}\right)\)

M thuộc trung tuyến kẻ từ A nên:

\(\dfrac{c+4}{2}+\dfrac{2c+5}{2}-1=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow C\left(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{5}{3}\right)\)

`a)` Vì `AM` là đường trung tuyến của `\triangle ABC`

`=>M` là trung điểm của `BC`

`=> M ( 1 ; -2 )`

Ta có: `\vec{AM} = ( -1 ; -2 )`

    `=>\vec{n_[AM]} = ( 2 ; -1 )`

      Mà `A ( 2 ; 0 ) in AM`

`=>` Ptr đường trung tuyến `AM` là: `2 ( x - 2 ) - ( y - 0 ) = 0`

                                       `<=> 2x - y - 4 = 0`

________________________________________________________

`b)` Ta có: `\vec{AC} = ( -2 ; -1 )`

Gọi ptr đường thẳng vuông góc với `AC` là `\Delta`

  `=>` Ptr `\Delta` là: `-2x - y + c = 0`

  `d ( B , \Delta ) = \sqrt{5}`

`=> [ | -2 . 2 - (-3) + c | ] / \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}`

`<=> | c - 1 | = 5`

`<=> c = 6` hoặc `c = -4`

  `=>` Ptr `\Delta` là: `-2x - y + 6 = 0`

                          hoặc `-2x - y - 4 = 0`

a. Gọi pt đường thẳng BC là: \(\Delta:y=ax+b\)

Vì pt đi qua 2 điểm B và C nên ta thay lần lượt các điểm vào, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2=a.3+b\\-4=a.6+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=-2\\6a+b=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{2}{3}\\0\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đường thẳng BC là: \(y=-\dfrac{2}{3}x\)

b. \(d\left(A,\Delta\right)=\dfrac{\left|-\dfrac{2}{3}.\left(-1\right)+\left(-1\right).7\right|}{\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{19\sqrt{13}}{13}\)

c. \(BC=\sqrt{\left(6-3\right)^2+\left(-4+2\right)^2}=\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{13}.\dfrac{19\sqrt{13}}{13}}{2}=\dfrac{19}{2}\)

Gọi M là trung điểm AC thì tọa độ điểm M là ( 1; 2)

Đường trung tuyến BM qua M(1;2) và nhận vecto 

làm VTCP nên nhận vecto  làm VTPT .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng BM là:

1(x-1) + 0.(y-2) =0 hay x-1=0 

Chọn B.

a: Tọa độ trọng tâm là:

x=(1+2+0)/3=1 và y=(3+1+3)/3=7/3

c: \(d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|1\cdot1+3\cdot\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)