Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}=180^0-60^0-45^0=75^0\)

Xét ΔABC có \(\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\)

=>\(\frac{BC}{\sin75}=\frac{2a}{\sin45}=2a:\frac{\sqrt2}{2}=\frac{4a}{\sqrt2}=2a\sqrt2\)

=>\(BC=2a\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{2a\sqrt2\cdot\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)}{4}=a\left(\sqrt3+1\right)\)

ΔEBC vuông tại E

=>\(\hat{EBC}+\hat{ECB}=90^0\)

=>\(\hat{HBC}=90^0-45^0=45^0\)

Ta có: ΔFBC vuông tại F

=>\(\hat{FBC}+\hat{FCB}=90^0\)

=>\(\hat{HCB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔBHC có \(\hat{HBC}+\hat{HCB}+\hat{BHC}=180^0\)

=>\(\hat{BHC}=180^0-30^0-45^0=105^0\)

Xét ΔBHC có \(\frac{BC}{\sin BHC}=\frac{HB}{\sin HCB}=\frac{HC}{\sin HBC}\)

=>\(\frac{a\left(\sqrt3+1\right)}{\sin105}=\frac{HB}{\sin30}=\frac{HC}{\sin45}\)

=>\(HB\cdot2=HC\cdot\sqrt2=a\left(\sqrt3+1\right):\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=a\left(\sqrt3+1\right)\cdot\frac{4}{\sqrt6+\sqrt2}=a\cdot\left(\sqrt3+1\right)\cdot\frac{2\sqrt2}{\sqrt3+1}=2a\cdot\sqrt2\)

=>\(HB=a\sqrt2;HC=2a\)

Chu vi tam giác HBC là:

HB+HC+BC

\(=2a+a\sqrt2+a\left(\sqrt3+1\right)=a\left(\sqrt2+\sqrt3+3\right)\)

Diện tích tam giác BHC là:

\(S_{HBC}=\frac12\cdot HB\cdot HC\cdot\sin BHC\)

\(=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot2a\cdot\sin105=a^2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{a^2\cdot\left(2\sqrt3+2\right)}{4}=\frac{a^2\left(\sqrt3+1\right)}{2}\)

a: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiêp

=>góc AFE=góc ACB

mà góc FAE chung

nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB

b: Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCH vuông tại D có

góc DAB=góc DCH

=>ΔDAB đồng dạng vơi ΔDCH

=>DA/DC=DB/DH

=>DA*DH=DB*DC

c: Xét ΔHDC vuông tại D và ΔHFA vuông tại F có

góc DHC=góc FHA

=>ΔHDC đồng dạng vơi ΔHFA

=>HD/HF=HC/HA

=>HF*HC=HD*HA

Xet ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE=HD*HA

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔABE∼ΔACF(g-g)

b) Ta có: ΔBEC vuông tại E(gt)

nên \(\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{DBH}+\widehat{ACB}=90^0\)(1)

Ta có: ΔDAC vuông tại D(gt)

nên \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{DAC}+\widehat{ACB}=90^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DBH}=\widehat{DAC}\)

Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có 

\(\widehat{DBH}=\widehat{DAC}\)(cmt)

nên ΔDBH\(\sim\)ΔDAC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DH}{DC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(DB\cdot DC=DH\cdot DA\)(đpcm)

A B C D E F H

a)

Xét ΔABE và ΔACF có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}\)  (\(=90^0\))

⇒ ΔABE \(\sim\) ΔACF (g.g)       (ĐPCM)