a: \(\dfrac{BC}{cotB+cotC}=BC:\left(\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}\right)\)

\(=BC:\dfrac{BC}{AH}=AH\)

A C B H M

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC)

Ta có : \(cotB=\frac{BH}{AH};cotC=\frac{CH}{AH}\) . Theo giả thiết : \(cotB=3cotC\Rightarrow BH=3CH\)

Mà BH + CH = BC\(\Rightarrow BC=4CH\Rightarrow CH=\frac{BC}{4}=\frac{2CM}{4}=\frac{CM}{2}\)

Vậy \(CH=\frac{1}{2}CM\); Ta cũng có : \(BH=BM+MH=2CH+MH=3CH\Rightarrow MH=CH\)

Do đó AH là đường trung trực của CM => AC = AM (đpcm)

AM sao có thể bằng AC đc? Đề có vấn đề j ko bn?

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Xét ΔABC có \(S_{ABC}=\frac12\cdot bc\cdot\sin A=\frac12\cdot ac\cdot\sin B=\frac12\cdot ab\cdot\sin C\)

=>\(bc\cdot\sin A=ac\cdot\sin B=ab\cdot\sin C=2S\)

=>\(\sin A=\frac{2S}{bc};\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}\)

\(\cot A=\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{2S}{bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)

\(\cot B=\frac{cosB}{\sin B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}:\frac{2S}{ac}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

\(\cot C=\frac{cosC}{\sin C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ba}:\frac{2S}{ab}=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)

cot A+cot B+cot C

\(=\frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{4S}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{4S}\)