A B C M 1 2

a) Xét tam giác AMB và AMC có:

AM chung 

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(AM là phân giác)
=> \(\Delta AMB=\Delta AMC\left(cgc\right)\)(đpcm)

b) Có tam giác ABC cân tại A (gt); AM là trung tuyến tam giác ABC

Vì trong tam giác cân đường trung tuyến trùng với đường cao

=> AM là đường cao tam giác ABC 

=> AM _|_ BC (đpcm)

Bài làm

a) Xét tam giác AMB và tam giác AMC có:

^MAB = ^MAC ( Do AM phân giác )

AB = AC ( Do ∆ABC cân )

^B = ^C ( Do ∆ABC cân )

=> ∆AMB = ∆AMC ( g.c.g )

b) Cách 1: Vì ∆AMB = ∆AMC ( cmt )

=> ^AMB = ^AMC 

Mà ^AMB + ^AMC = 180° ( hai góc kề bù )

=> ^AMB = ^AMC = 180°/2 = 90°

=. AM vuông góc với BC.

Cách 2: Vì tam giác ABC cân tại A

Mà AM là tia phân giác

=> AM đồng thời là đường cao.

=> AM vuông góc với BC .

c) Vì ∆ABC cân tại A

Mà AM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.

=> AM là đường trung tuyến. 

=> BM = MC 

Mà BM + MC = BC = 6

=> BM = MC = 6/2 = 3 ( cm )

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

Theo định lí Pytago có:

AB² = AM² + BM²

=> AM² = AB² - BM²

Hay AM² = 5² - 3²

=> AM² = 25 - 9

=> AM² = 16

=> AM = 4 ( cm )

d) Xét tam giác ABC có:

AM vuông góc với BC

AH vuông góc với AC

Mà AM cắt AH tại H

=> H là trực tâm.

=> CH vuông góc với AB . ( Đpcm )

a, vì AM là tpg của A nên BAM=CAM

xét tam giác AMB & AMC có: BAM=CAM(cmt); AB=AC( tam giác ABC cân tại A); góc B=C( tam giác ABC cân tại A)

=> tam giác AMB=AMC(g.c.g)

b,vì tam giác AMB=AMC nên  góc AMB=AMC

mà AMB+AMC=180⁰( 2 góc kề bù)=> AMB=AMC=90⁰=> AM vuông góc với BC

vì tam giác AMB=AMC nên BM=CM(2 cạnh tương ứng)

=> BM=CM=BC:2=3 cm

theo định lí PTG, ta có:

AM²+BM²=AB²

hay AM²= AB²- BM²

<=>AM²=5²-3²=16

=> AM= 4 cm.

c, xét tam giác BHM và CHM: BM=CM(cmt); góc HMB=HMC(=90⁰); HM là cạnh chung=> tam giác BHM=CHM(c.g.c)=>HB=HC(tương ứng)

xét tam giác HBC có HB=HC(cmt) do đó tam giác HBC cân tại H.

Bài 3.

a) Chứng minh tam giác AHB = tam giác AHC

Xét tam giác AHB và tam giác AHC, ta có:

- AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).

- AH là cạnh chung.

- \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^\circ\).

Suy ra \(\triangle AHB=\triangle AHC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Do đó HB = HC (hai cạnh tương ứng).

b) Tính độ dài AH

Vì tam giác ABC cân tại A nên:

HB = HC = BC : 2

HB = 8 : 2 = 4 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

AH² = AB² - HB²

AH² = 5² - 4²

AH² = 25 - 16 = 9

AH = 3 (cm)

Đáp số: AH = 3 cm.

c) Chứng minh tam giác ABM cân

Vì M nằm trên tia đối của tia HA nên:

HM = HA = 3 cm

Ta có:

AM = AH + HM

AM = 3 + 3 = 6 (cm)

Xét tam giác AHB và tam giác MHB, ta có:

AH = HM (giả thiết).

HB là cạnh chung.

\(\widehat{AHB}=\widehat{MHB}=90^\circ\).

Suy ra \(\triangle AHB=\triangle MHB\) (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).

Do đó AB = BM.

Vậy tam giác ABM cân tại B.

d) Chứng minh BM // AC

Ta có:

AB = BM (theo câu c).

Suy ra tam giác ABM cân tại B.

Mà AH = HM nên H là trung điểm của AM.

Trong tam giác ABM, BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên:

BH ⊥ AM và BH là đường trung trực của AM.

Do đó AB = BM.

Mặt khác, từ câu a ta có:

\(\widehat{BAH}=\widehat{HAC}\).

Vì A, H, M thẳng hàng nên:

\(\widehat{BAM}=\widehat{HAC}\).

Suy ra \(BM \parallel AC\) (hai đường thẳng cùng tạo với AM những góc bằng nhau).

Vậy BM // AC (đpcm).

người mới hả

1: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AB=AC

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

AM chung

Do đó:ΔAMB=ΔAMC

2: 

a: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-50^0}{2}=65^0\)

b: BC=6cm nên BM=3cm

=>AB=AC=5cm

3: Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

Do đó: ΔAEM=ΔAFM

Suy ra: AE=AF

hay ΔAEF cân tại A