a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

BH+HC=BC

=>BC=4+9=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52\)

=>\(BA=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB=9\cdot13\)

=>\(CA=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\) (cm)

b: M là trung điểm của AC

=>\(AM=MC=\frac{AC}{2}=1,5\sqrt{13}\) (cm)

Xét ΔAMB vuông tại A có tan AMB=AB/AM=4/3

nên \(\hat{AMB}\) ≃52 độ

Ta có: \(\hat{AMB}+\hat{BMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{BMC}=180^0-52^0=128^0\)

c: Xét ΔAMB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BM=BA^2\)

=>\(BK\cdot BM=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BM}\)

Xét ΔBKH và ΔBCM có

\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BM}\)

góc KBH chung

Do đó: ΔBKH~ΔBCM

=>\(\hat{BKH}=\hat{BCM}=\hat{BCA}\)

à quên không vẽ hình cũng được

Trên BC lấy I sao cho IC=IB

Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm

Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm

Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH²= AM² - MH² = 10² - 8²= 36 ----> AH=6 cm

có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)

Từ I kẻ IK vuông góc AB

có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB) 

---> MIKH là hình bình hành

---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm

BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm

Xét tam giác AMH và tam giác BIK:

     AH=BK=6 

     góc AHM= góc BKI= 90^O

      MH=IK=8

----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)

----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA

----> tam giác ABC cân tại C

b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)

----> AM=MC=IB=IC=10 cm

Kéo dài CO cắt AB tại D

tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O

có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90^o

Tương tự với tam giác OCB được  OI vuông góc BC hay góc OIC=90^o

Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:

     MC=IC=10cm

    OC cạnh chung

--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)

--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->

• CD vuông góc AB hay góc ADC=90^o
• AD=BD=AB/2 = 12 cm

Theo Pytago trong tam giác ACD: CD²= AC²-AD² = 20²-12² =256  ---> CD=16 cm

Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X

Theo Pytago tam giác AOD: AO²= OD²+AD²

                                                     ^<-->X²⁼ (16-X)² + 12²

                                                     ^<--> 16² -32X + X² +12² - X²=0

                                       <--> 400 - 32X=0

                                       <--> X= -400/-32= 12,5 cm

 Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm

tại sao bạn không kẻ đường cao CD. Như thế sẽ đỡ mất thời gian chứng minh