\(cosB=\dfrac{\left|1.2+\left(-7\right).1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-7\right)^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

Gọi vtpt của AC có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow cosC=cosB=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left|2a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(2a+b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+8ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(7a+b\right)=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-1\\b=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;-7\right)\end{matrix}\right.\)

(Trường hợp \(\left(a;b\right)=\left(1-;7\right)\) loại do khi đó AC song song AB, vô lý)

\(\Rightarrow\) Phương trình AC: \(1\left(x-4\right)-1\left(y-0\right)=0\)

BC: 2x-3y-5=0

=>vecto pháp tuyến của BC là: \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;-3\right)\)

AB: x+y+1=0

=>vecto pháp tuyến của AB là: \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\)

Gọi vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(a;b\right)\)

\(\cos(AB, BC) = \frac{\vert{}\vec{n}_{AB} \cdot \vec{n}_{BC}\vert{}}{\vert{}\vec{n}_{AB}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_{BC}\vert{}} = \frac{\vert{}1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3)\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{\vert{}-1\vert{}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>cos(AB;BC)=cos(AC;CB)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(2(2a - 3b)^2 = a^2 + b^2\)

=>\(2(4a^2-12ab+9b^2)=a^2+b^2\)

=>\(8a^2-24ab+18b^2=a^2+b^2\)

=>\(7a^2-24ab+17b^2=0\)

=>(a-b)(7a-17b)=0

TH1: a-b=0

=>a=b

Chọn a=1

=>b=a=1

=>vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(1;1\right)\)

Phương trình AC là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

mà AB: x+y+1=0

nên AB//AC

=>Loại

TH2: 7a-17b=0

=>7a=17b

=>a=17; b=7

=>\(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(17;7\right)\)

Phương trình AC là:

17(x-1)+7(y-1)=0

=>17x-17+7y-7=0

=>17x+7y-24=0

trl ; bạn kia đúng r

-

_

----------------

C thuộc BC ; C thuộc AC

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y+1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\)=> C(-1,1)

AB=BC

Phương trình đường phân giác góc BCA

d1: 2(x+1)-11(y-1) =2x-11y+13

d2:11(x+1)+2(y-1)=11x-2y+9

=> Phương trình AB đi qua (M)

d3: 11(x-2)+2(y-1)=11x+2y-24

d4:2(x-2)-11(y-1)=2x-11y+7

Bài 1:

Vì pt đường thẳng $AC$ là $5x-y=0$ nên gọi tọa độ điểm $C$ là $(c,5c)$

PTĐT $AB$ là $2x-y=0$ nên gọi tọa độ điểm $B$ là $(b,2b)$

Trung điểm $D$ của $BC$ có tọa độ là:\(\left(\frac{b+c}{2}; \frac{2b+5c}{2}\right)\)

Vì $D$ thuộc đường thẳng \(3x-y=0\) nên \(\frac{3(b+c)}{2}=\frac{2b+5c}{2}\)

\(\Leftrightarrow b=2c\)

Vậy tọa độ điểm \(B(2c,4c); C(c,5c)\)

Gọi ptđt $BC$ là \(y=kx+m\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} 4c=2ck+m(1)\\ 5c=ck+m(2)\\ 9=3k+m(3)\end{matrix}\right.\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow c=-ck\Rightarrow k=-1\)

Thay vào (3) suy ra \(m=12\)

PTĐT là: \(y=-x+12\Leftrightarrow x+y-12=0\)