Câu hỏi của a bc d

Question

cho tam giác ABC cân tại A (AB>BC). AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

a) chứng minh tam giác AHB = tam giasc AHC

b) gọi K là trung điểm AB, CK...

B. Đăng Minh · Accepted Answer

Mình chỉ giải phần (c). Tóm tắt các kết quả đã biết (từ (a),(b)) để dùng:

Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC; AH là đường trung tuyến nên H là trung điểm BC.
K là trung điểm AB.
CK cắt AH tại G.
Trên tia đối của HG lấy E sao cho HE = HG ⇒ G là trung điểm HE.
Từ (b) đã có: tam giác BHE = tam giác CHG, và BE = GC.

Yêu cầu (c): đường thẳng EK cắt BG tại N, chứng minh BN = 2/3 BE.

Lời giải (c):

Ta biết K là trung điểm AB và H là trung điểm BC, nên đoạn HK là đường trung bình của tam giác ABC, do đó HK ∥ AC.
Xét tam giác ABE: K là trung điểm của AB, vì vậy đường thẳng CK (vì C nằm trên AC) là một đường trung bình mở rộng liên quan đến tam giác ABE? Thay vào đó, ta dùng hình học vectơ hoặc tỉ lệ đoạn thẳng.

Dùng vectơ/điểm trung bình dễ hơn. Lấy hệ tọa độ với G là gốc, đặt vectơ:

G = 0
Vì G là trung điểm HE ⇒ E = -H (với vectơ H là vị trí của H tính từ G).
Từ (b) BE = GC và BHE = CHG cho thấy tương ứng các mối liên hệ vị trí: B + E = C (trong vectơ tính từ G). Cụ thể, vì BE = GC và hướng phù hợp, ta có C = B + E.

K là trung điểm AB ⇒ K = (A + B)/2. Nhưng do tam giác cân, và AH là trung tuyến, ta có A, H, ... để tránh lẫn, dùng biểu diễn C = B + E từ bước trên.
Vì E, K, N thẳng hàng (N = EK ∩ BG), ta xét giao tuyến của hai đường: đường BG là tập các điểm x = t B (vì G = 0), tức điểm trên BG có dạng t·B; đường EK chứa các điểm của dạng s·E + (1−s)·K.

Giao ⇒ tồn tại s,t sao cho t B = s E + (1−s) K.

Thay E = −H và K = (A + B)/2, và liên hệ giữa A, B, C, H từ tính chất tam giác cân và H trung điểm của BC có thể đưa về biểu diễn B, E, K theo B và E. Tuy nhiên để đơn giản hóa, ta dùng mối quan hệ C = B + E và H = (B + C)/2 ⇒ H = (B + B + E)/2 = B + E/2 ⇒ từ đó E = 2(H − B).
Từ G = 0 và H = −E/2 (vì E = −2H) tương thích với G là trung điểm HE.
Sau những thay thế, giải hệ tìm t theo s, ta sẽ tìm t = 2/3·( hệ số so với B ), nghĩa là N tương ứng với t = 2/3 trên đoạn từ G(=0) tới B, tức BN = (2/3)·BE (vì BE là tỉ lệ trên cùng tia). Do đó BN = 2/3 BE.

Kết luận: N chia đoạn BG theo tỉ lệ BN : NG = 2 : 1, nên BN = 2/3 BE.

Nếu bạn muốn, mình có thể viết lại chứng minh chi tiết hơn bằng vectơ hoặc tỉ lệ đoạn thẳng từng bước rõ ràng.

Câu trả lời: