Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi G là giao điểm của BE và CF
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường trung tuyến
BE cắt CF tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BE;CG=\frac23CF\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=\frac23\cdot\overrightarrow{BE}+\frac23\cdot\overrightarrow{FC}=\frac23\cdot\overrightarrow{BE}-\frac23\cdot\overrightarrow{CF}\)
Do G là trọng tâm tam giác
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)
Do I là trung điểm AG
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
câu này hay thế!
Ad+be+cf=ab+ac+ba+bc+ca+cb(vì d,f,e là trung điêm của bc;ab;ac)
=ab+ba+ac+ca+bc+cb
=0
Lời giải:
Với $D$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{CD}\) là 2 vecto đối nhau nên \(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Tương tự:
\(2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\); \(2\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\)
Do đó:
\(2(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\)
\(=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)