Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)
GM = ME (do G đối xứng E qua M)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)
\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)
Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF
\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
\( \Rightarrow \) AF = 2 FI
Cho tam giác HPG có 3 trung tuyến HM,PA,GB cắt nhau tại T . Biết TH = 3 cm,TP=TG=4 cm a, Tính HM,PA,GB. b, Chứng minh tam giác HPG cân
Vì AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và G là giao điểm của BN và CP nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có tính chất trọng tâm:
\(\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{BG}{BN}=\dfrac{CG}{CP}=\dfrac{2}{3}\).
a) Tính độ dài các đường trung tuyếnTa có:
\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)
Suy ra:
\(AM=\dfrac{3}{2}\cdot AG=\dfrac{3}{2}\cdot4=6\) (cm).
Tương tự:
\(BG=\dfrac{2}{3}BN\)
Suy ra:
\(BN=\dfrac{3}{2}\cdot BG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).
\(CG=\dfrac{2}{3}CP\)
Suy ra:
\(CP=\dfrac{3}{2}\cdot CG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).
Vậy \(AM=6\) cm; \(BN=CP=9\) cm.
b) Chứng minh tam giác ABC cânVì \(BN=CP\) nên:
\(\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}CP\)
Hay \(BG=CG\).
Mà G nằm trên BN và CP nên G là trung điểm của BC?
Lưu ý: Từ \(BG=CG\) và G nằm trên BC, ta cần biết G thuộc BC. Nhưng G là giao điểm hai đường trung tuyến BN và CP, không nằm trên BC nói chung. Vì vậy không thể kết luận như trên.
Ta có thể chứng minh bằng định lý Apollonius:
Vì N là trung điểm AC, P là trung điểm AB:
\(BN^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\)
\(CP^2=\dfrac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}\)
Mà \(BN=CP\), suy ra:
\(2AB^2+2BC^2-AC^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\)
\(3AB^2=3AC^2\)
Suy ra \(AB=AC\).
Vậy tam giác ABC cân tại A. (đpcm)
∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC.
D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc trung trực của AB.
Vậy DA = DB (tính chất đường trung trực).
A D B M C
2 1 1 1 2 I F A D E C M B
a) Ta có: Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt cắt BC tại F
=> F thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC
=> FA=FC
=> Tam giác ACF cân tại F
Xét tam giác AFC có: FE và AM là hai đường cao cắt nhau tại I
=> I là trực tâm của tam giác AFC
=> CI vuông góc AF
b) Ta có: Tam giác FAC cân tại F
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)
Tam giác ABC cân tại A
=> \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)(1)
Mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o\)( kề bù) (2)
và \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^o\) ( kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) => \(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\)
Xét tam giác ABF và tam giác CAD
có: AB=AC ( tam giác ABC cân)
\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\)( chứng minh trên)
BF=AD ( giả thiết)
=> Tam giác ABF = tam giác CAD
=> \(\widehat{D}=\widehat{F}\)
=> Tam giác CFD cân tại D
c) CD vuông CF
=> Tam giác CFD vuông cân
=> \(\widehat{AFC}=\widehat{DFC}=45^o\)
Xét tam giác AFC cân tại F
=> \(\widehat{C_1}+\widehat{A_1}+\widehat{AFC}=180^o\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{A_1}=\frac{180^o-45}{2}=67,5^o\)
Xét tam giác ABC cân tại A
=> \(\widehat{C_1}=\widehat{B_1}=67,5^o\)
=> \(\widehat{A}=45^o\)
Điều kiện của tam giác ABC là cân tại A và góc A bằng 45 độ
a: Xet ΔBMG và ΔCME có
MB=MC
góc BMG=góc CME
MG=ME
=>ΔBMG=ΔCME
b: Xet tứ giác BGCE co
M là trung điểm chung của BC và GE
=>BGCE là hình bình hành
=>BG//CE
c: Xét ΔABE co
AI,BG là trung tuyến
AI cắt BG tại F
=>F là trọng tâm
=>E,F,N thẳng hàng
a, AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC => BM=MC=1/2 BC = 5
AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AM cũng đồng thời là đường cao trong tam giác này
=> góc AMB = 90độ
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABM tại M có: \(AM^2=AB^2-BM^2=13^2-5^2=12^2\Rightarrow AM=12\\ \)
b, EF là trung trực AC => FE vuông góc AC và R là trung điểm AC
Hay góc FEC=90độ và EC=EA
Xét tam giác FEC và FEA có:
FE _ cạnh chung
góc FEC = góc FEA = 90độ
EC=EA
=> tg FEC = tg FEA (c-g-c) => FC=FA => tg FAC cận tại F
Xét tg FAC có FE, AM là 2 đường cao trong tam giác và chúng cắt nhau tại I => I là trực tâm tg FAC => CI vuong góc À
a, Xét tam giác ABC có G là trọng tâm
=> \(PG=\frac{1}{3}PC\) ( t/c trọng tâm tam giác )
Xét tam giác ABG có GP và AF là các trung tuyến
Mà GP cắt AF tại I nên I là trọng tâm
=> \(PI=\frac{1}{3}PG=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}PC=\frac{1}{9}PC\) ( đpcm )
b, Ta có : G là trọng tâm nên AG=2GM mà GM=GE => AG=GE
BG=2GN mà GF=1/2 BG nên GF=GN
Xét tứ giác AFEN có : AG=GE và GF=GN
=> AFEN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> NE//AF và NE=AF