1.

Ta có:

$A = -3 - y^2 + xy + x + y$

Nhóm các hạng tử theo $x$:

$A = x(y+1) - y^2 + y - 3$

Với mỗi giá trị của $y$, biểu thức tăng theo $x$.

Ta biến đổi: $A = -y^2 + xy + y + x - 3$ $= -\left(y^2 - xy - y\right) + x - 3$

Hoàn thành bình phương theo $y$:

$A = -\left[y^2 - (x+1)y\right] + x - 3$

$= -\left[\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 - \dfrac{(x+1)^2}{4}\right] + x - 3$

$= -\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 + \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Vì: $\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 \ge 0$ nên: $-\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 \le 0$

Suy ra: $A \le \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Biểu thức này không bị chặn trên khi $x$ tăng vô hạn.

Ví dụ: chọn $y = \dfrac{x+1}{2}$ thì:

$A = \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Khi $x \to +\infty$ thì: $A \to +\infty$

Vậy biểu thức $A$ không có giá trị lớn nhất.

2.

Ta có tam giác $ABC$ đều cạnh $4$ nên:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^\circ$.

Trong tam giác $NCB$:

$\widehat{NCB}=40^\circ,\ \widehat{CBN}=60^\circ$ nên: $\widehat{CNB}=80^\circ$.

Áp dụng định lí sin:

$\dfrac{NB}{\sin40^\circ}=\dfrac{BC}{\sin80^\circ}$

$\Rightarrow NB=\dfrac{4\sin40^\circ}{\sin80^\circ}$

Vì $CM$ là tia phân giác góc $NCB$ nên:

$\dfrac{NM}{MB}=\dfrac{NC}{CB}$

Suy ra:

$MB=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Diện tích tam giác $MBC$ là:

$S_{MBC}=\dfrac12 \cdot MB \cdot BC \cdot \sin60^\circ=\dfrac12 \cdot \dfrac{4\sqrt3}{3}\cdot4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4$

Do $D$ là trung điểm của $MC$ nên khoảng cách từ $D$ đến $BC$ bằng một nửa khoảng cách từ $M$ đến $BC$.

Lại có: $CD=CE$

suy ra: $S_{CDE}=\dfrac{MC}{4}$.

Mặt khác: $S_{MBD}=\sqrt3-\dfrac{MC}{4}$.

Do đó: $S_{CDE}+S_{MBD}=\dfrac{MC}{4}+\sqrt3-\dfrac{MC}{4}=\sqrt3$.

Vậy tổng diện tích hai tam giác $CDE$ và $MBD$ là:

$\boxed{\sqrt3}$.

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(Gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{BD}{6}=\dfrac{CD}{8}\)

mà BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{6}=\dfrac{CD}{8}=\dfrac{BD+CD}{6+8}=\dfrac{BC}{14}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{6}=\dfrac{5}{7}\\\dfrac{CD}{8}=\dfrac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{30}{7}cm\\CD=\dfrac{40}{7}cm\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(BD=\dfrac{30}{7}cm;CD=\dfrac{40}{7}cm\)

a: AB/AC=30/15=2

b: I ở đâu vậy bạn?

Bài 1 :

a, Xét tam giác BDA và tam giác KDC có:     

 Góc BDA= Góc KDC(đối đỉnh)

 Góc B= Góc K(90 độ)

=>Tam giác BDA đồng dạng với tam giác KDC(g.g)

b, 

Tam giác BDA đồng dạng với tam giác KDC ( cmt) => \(\frac{DB}{DA}=\frac{DK}{DC}\)

Xét tam giác DBK và tam giác DAC có:   

  Góc BDK= Góc DAC(đối đỉnh)

\(\frac{DB}{DA}=\frac{DK}{DC}\)

=>Tam giác DBK đồng dạng với tam giác DAC(c.g.c)

Bài 2 :

a) Xét tam giác ABH và tam giác AHD có:

\(\widehat{A}chung\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}=90^o\)

⇒ tam giác ABH đồng dạng với tam giác AHD (g-g)

b)T/tự: tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH (g-g)

⇒ \(\widehat{ACH}=\widehat{AHE}\) ( 2 góc tương ứng)

Tam giác AEH đồng dạng với tam giác HEC 

\(\widehat{ACH}=\widehat{AHE}\) (CM trên)

và \(\widehat{AEH}=\widehat{HEC}\) (= 90⁰)

⇒\(\frac{AE}{HE}=\frac{EH}{EC}\)⇒\(AE\cdot EC=EH\cdot EH=EH^2\)

c) tam giác ADC đồng dạng với tam giác ABE (g-g) vì:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}=90^O\)

⇒ \(\widehat{ACD}=\widehat{ABE}\) ( 2 góc tương ứng)

Xét tam giác DBM và tam giác ECM có:

\(\widehat{ACD}=\widehat{ABE}\) (CM trên)

\(\widehat{DMB}=\widehat{EMC}\) (đối đỉnh)

⇒ tam giác DBM đồng dạng với tam giác ECM (g-g)

 Bài 3 :

Bạn tự vẽ hình rồi đối chiếu kq nhé, có thể có sai sót đấy, ko chắc đúng hết đâu

a/ Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy ta có

\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}\)

Hai tam giác ABD và tam giác ACD có chung đường cao hạ từ A xuống BC nên

\(\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}\)

b/ Ta có

\(\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\frac{m}{n}\Rightarrow\frac{S_{\Delta ABD}}{m}=\frac{S_{\Delta ACD}}{n}=\frac{S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}}{m+n}=\frac{S_{\Delta ABC}}{m+n}=\frac{s}{m+n}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABD}=\frac{sm}{m+n}\)

Xét hai tam giác ABM và tam giác ABC có chung đường cao hạ từ A xuống BC nên

\(\frac{S_{\Delta ABM}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{\Delta ABM}=\frac{S_{\Delta ABC}}{2}=\frac{s}{2}\)

Mà \(S_{\Delta ADM}=S_{\Delta ABM}-S_{\Delta ABD}=\frac{s}{2}-\frac{sm}{m+n}\)

bạn ơi tại sao  \(\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}\) vậy bạn?

a, Xét tam giác ABC có AD là pg góc A nên 

\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{4a}{2a+3a}=\frac{4}{5}\) 

=> \(\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}\) <=> \(\frac{BD}{2a}=\frac{4}{5}\) <=> \(BD=\frac{8a}{5}=1,6a\)