Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có
góc FAH chung
=>ΔAFH đồng dạng ΔADB
b: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc AFE=góc ACB
mà góc FAE chung
nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB
góc FEH=góc BAD
góc DEH=góc FCB
mà góc BAD=góc FCB
nên góc FEH=góc DEH
=>EH là phân giác của góc FED
Kẻ CG//MN(G thuộc AB), CG cắt AD tại K
=>HI vuông góc CK
=>I là trựctâm của ΔHCK
=>KI vuông góc CH
=>KI//AB
=>KI//BG
=>K là trung điểm của CG
MN//GC
=>MH/GK=HN/KC
mà GK=KC
nên MH=HN
A B C D E F H K M I G
a) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\) ⇒ \(BH\text{//}KC\)
\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\) ⇒ \(CH\text{//}BK\)
\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)
⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\) \(\left(ĐPCM\right)\)
c)
Ta có:
\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)
⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)
⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Kẻ CG//MN(G thuộc AB), CG cắt AD tại K
=>HI vuông góc CK
=>I là trựctâm của ΔHCK
=>KI vuông góc CH
=>KI//AB
=>KI//BG
=>K là trung điểm của CG
MN//GC
=>MH/GK=HN/KC
mà GK=KC
nên MH=HN
a: Ta có: BH⊥AC
CK⊥CA
Do đó: BH//CK
Ta có; CH⊥AB
BK⊥BA
Do đó: CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
=>H,M,K thẳng hàng
c: Xét ΔMGH vuông tại G và ΔMGI vuông tại G có
MG chung
GH=GI
Do đó: ΔMGH=ΔMGI
=>MH=MI
mà MH=MK
nên MI=MH=MK
=>\(IM=\frac{HK}{2}\)
Xét ΔHIK có
IM là đường trung tuyến
\(IM=\frac{HK}{2}\)
Do đó: ΔHIK vuông tại I
=>HI⊥IK
mà HI⊥BC
nên BC//KI
Xét ΔCGH vuông tại G và ΔCGI vuông tại G có
CG chung
GH=GI
Do đó: ΔCGH=ΔCGI
=>CH=CI
mà CH=BK
nên BK=CI
Xét tứ giác BCKI có
BC//KI
BK=CI
Do đó: BCKI là hình thang cân
d: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC
mà HG⊥BC
và AH,HG có điểm chung là H
nên A,H,G thẳng hàng
ΔAFH vuông tại F
mà FJ là đường trung tuyến
nên \(FJ=\frac{AH}{2}\) (1)
ΔAEH vuông tại E
mà EJ là đường trung tuyến
nên \(EJ=\frac{AH}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra JF=JE
=>J nằm trên đường trung trực của EF(3)
ΔBFC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên \(FM=\frac{BC}{2}\left(4\right)\)
ΔBEC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên \(EM=\frac{BC}{2}\left(5\right)\)
Từ (4),(5) suy ra MF=ME
=>M nằm trên đường trung trực của FE(6)
Từ (3),(6) suy ra MJ là đường trung trực của EF
=>MJ⊥EF
e: JH=JE(=AH/2)
=>ΔJHE cân tại J
=>\(\hat{JEH}=\hat{JHE}\)
mà \(\hat{JHE}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{GAC}\right)\)
nên \(\hat{JEH}=\hat{ACB}\)
ΔMEB có ME=MB(=BC/2)
nên ΔMEB cân tại M
=>\(\hat{MEB}=\hat{MBE}\)
\(\hat{JEM}=\hat{JEB}+\hat{MEB}\)
\(=\hat{ACB}+\hat{MBE}=90^0\)
a: Ta có: BH⊥AC
CK⊥CA
Do đó: BH//CK
Ta có; CH⊥AB
BK⊥BA
Do đó: CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
=>H,M,K thẳng hàng
c: Xét ΔMGH vuông tại G và ΔMGI vuông tại G có
MG chung
GH=GI
Do đó: ΔMGH=ΔMGI
=>MH=MI
mà MH=MK
nên MI=MH=MK
=>\(� � = \frac{� �}{2}\)
Xét ΔHIK có
IM là đường trung tuyến
\(� � = \frac{� �}{2}\)
Do đó: ΔHIK vuông tại I
=>HI⊥IK
mà HI⊥BC
nên BC//KI
Xét ΔCGH vuông tại G và ΔCGI vuông tại G có
CG chung
GH=GI
Do đó: ΔCGH=ΔCGI
=>CH=CI
mà CH=BK
nên BK=CI
Xét tứ giác BCKI có
BC//KI
BK=CI
Do đó: BCKI là hình thang cân
d: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC
mà HG⊥BC
và AH,HG có điểm chung là H
nên A,H,G thẳng hàng
ΔAFH vuông tại F
mà FJ là đường trung tuyến
nên \(� � = \frac{� �}{2}\) (1)
ΔAEH vuông tại E
mà EJ là đường trung tuyến
nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)
Từ (1),(2) suy ra JF=JE
=>J nằm trên đường trung trực của EF(3)
ΔBFC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 4 \left.\right)\)
ΔBEC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 5 \left.\right)\)
Từ (4),(5) suy ra MF=ME
=>M nằm trên đường trung trực của FE(6)
Từ (3),(6) suy ra MJ là đường trung trực của EF
=>MJ⊥EF
e: JH=JE(=AH/2)
=>ΔJHE cân tại J
=>\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)
mà \(\hat{� � �} = \hat{� � �} \left(\right. = 9 0^{0} - \hat{� � �} \left.\right)\)
nên \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)
ΔMEB có ME=MB(=BC/2)
nên ΔMEB cân tại M
=>\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)
\(\hat{� � �} = \hat{� � �} + \hat{� � �}\)
\(= \hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{0}\)
Sửa đề: Từ C,B kẻ các đường thẳng vuông góc với AC,AB cắt nhau tại K
a: CK vuông góc AC
BH vuông góc AC
Do đó: CK//BH
BK vuông góc AB
CH vuông góc AB
Do đó: BK//CH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
=>H,M,K thẳng hàng
a: Xét ΔABC có
BE là đường cao
CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔBAC
Suy ra: AH\(\perp\)BC
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
CH//BD
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: Ta có: BHCD là hình bình hành
nên Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HD
hay M,H,D thẳng hàng
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên EM=BC/2(1)
Ta có: ΔFBC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên FM=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra ME=MF
hay ΔEMF cân tại M