Cho nửa đường tròn tâm O , bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn,kẻ tiếp tuyến Bx.M là một điểm di động trên tia Bx,AM giao với đường tròn tâm O tại N,E là trung điểm của AN
a) C/m 4 điểm E,O,B,M cùng thuộc một đường tròn
b) Tiếp tuyến tại N của đường tròn cắt tia OE tại K và cắt MB tại D.C/m KA là tiếp tuyến của (O) và KA.DB=R^2
c) Tia OD cắt đường tròn (O) tại I .C/m I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DNB

Cho 2 đường tròn có tâm là O Và O'. Tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Tiếp tuyến chung ở A cắt tiếp tuyến chung MN ở B( M và N là tiếp điểm)
a) Chứng minh góc MAN=90°
b) AM cắt BO ở P, AN cắt BO' ở a
Chứng tỏ rằng tứ giác APBQ là HCN
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN tiếp xúc với đường thẳng OO' và đường tròn dường kính OO' tiếp xúc và đường thẳng MN

Bài 2. (1 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C) sao cho C là điểm chính giữa của cung AE, Gọi F là giao điểm của AE và CD.

a)     Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a/ Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

b/ Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh DNFK cân và EM . NC = EN . CM.

c/ Giả sử KE = KC. Chứng minh OK// MN và KM² + KN² = 4R².

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD. gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên tiếp tuyến tại B và C của đường tròn

1. Chứng minh tứ giác AEBD là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh ABC = ADF

3. Chứng minh AD² = AE.AF

4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và AF, chứng minh rằng nếu AD = AM + AN thì 3 điểm A, O, D thẳng hàng

Bài 1: Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm D và E (D nằm giữa B và E) sao cho DAB = EAC. Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường trong (O) tại I và J.
a) Chứng minh rằng phân giác của góc BAC đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng: Tứ giác BCJI là hình thang cân.
c) Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại điểm A. Chứng minh rằng đường thẳng xy cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Bài 2 : Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a^2 + b^2 + c^2 – 3ab.

cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đương tron (O) .vẽ tiếp tuyến tai A của đường tron (O) cắt đường thẳng BC tại S . Tia phân giác của góc BAC cắt BC tai K và cắt đường tròn (O) tại E ,OE cắt dây BC tại \(I\)

A) chứng minh \(SA^2=SB.SC\)

B)chứng minh OE  vuông góc BCtại \(I\)

c ) chứng minh \(SA=SK\)

D) Vẽ tiếp tuyến SD của đường tròn tâm (O) ( Dlá tiếp điểm ,Dkhác A ). Chứng minh tư giác SAOD nội tiếp đường tròn và \(I\) thuộc đường trón này

Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và \(\widehat{A}=45^o\). Vẽ đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp.

b) Tính tỉ số \(\dfrac{DE}{BC}\).

c) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh \(OA\perp DE\).

Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng d không đi qua O cắt (O; R) tại A và B. Từ điểm M bất kì trên d và ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MN; MP (N và P là hai tiếp điểm).

1, Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn. Gọi O’ là tâm của đường tròn này, xác định vị trí của điểm O’

2, Đường tròn (O’) ngoại tiếp tứ giác MNOP cắt d tại I. Chứng minh IA = IB

3, Từ N kẻ đường kính ND của (O) và đường kính NC của (O’). Chứng minh tích DP.DC không đổi

4, Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông