Chọn C

Chọn C.

Vì  nên

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Tam giác ABM đều nên 

Theo định lý Pitago ta có:

Suy ra

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}\)

\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}\)

Qua C, lấy K sao cho \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{GA}\)

=>CK//GA và CK=GA

Xét ΔABC đều có G là trọng tâm

nên AG⊥BC

=>CK⊥CB

Xét ΔABC đều có G là trọng tâm

nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>GA=GB=GC

Xét (G) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

nên \(\hat{BGC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)

Xét tứ giác AGCK có

AG//CK

AG=CK

Do đó: AGCK là hình bình hành

Hình bình hành AGCK có AG=GC

nên AGCK là hình thoi

=>CA là phân giác của góc GCK

=>\(\hat{GCK}=2\cdot\hat{GCA}=60^0\)

Xét ΔGCK có GC=KC và \(\hat{GCK}=60^0\)

nên ΔGCK đều

=>\(\hat{KGC}=60^0\)

\(\hat{BGC}+\hat{KGC}=120^0+60^0=180^0\)

=>B,G,K thẳng hàng

Trên tia đối của tia GC, lấy E sao cho GC=GE

=>G là trung điểm của EC

Ta có: EC=2GC

BK=2GB

mà GC=GB

nên EC=BK

Xét tứ giác BCKE có

G là trung điểm chung của BK và CE

=>BCKE là hình bình hành

Hình bình hành BCKE có \(\hat{BCK}=90^0\)

nên BCKE là hình chữ nhật

=>\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CE}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)

=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)

\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)

\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)

\(=0\)

Từ giả thiết ta có PN là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\overrightarrow{PN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{PC}\)

b.

Theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GM}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GM}\Rightarrow2\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}\)

a: ΔABC đều cạnh a

=>AB=BC=AC=a

=>\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\)

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điêm của BC

=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{3a^2}{4}\)

=>\(AH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Gọi I là trung điểm cua BH

=>\(HI=\frac{HB}{2}=\frac{a}{4}\)

ΔAHI vuông tại H

=>\(AH^2+HI^2=AI^2\)

=>\(AI^2=\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{16}=\frac{13a^2}{16}\)

=>\(AI=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Xét ΔAHB có AI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=2\cdot\overrightarrow{AI}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\right|=2\cdot AI=2a\sqrt{13}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right|=\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=HB=\frac{a}{2}\)

b: Xét ΔABC đều có G là trọng tâm

nên \(GA=GB=GC=AB\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{a\sqrt3}{3}\)

\(\left|\overrightarrow{GB}\right|=GB=\frac{a\sqrt3}{3}\)

Vì G là trọng tâm của ΔABC

nên \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{0}\right|=0\)

Câu 1: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)

Bởi vì khi đó, IA và IB là hai vecto đối nhau

Suy ra: IA và IB là hai vecto cùng phương

mà IA và IB có điểm chung là I

nên A,I,B thẳng hàng và IA=IB

Suy ra: I là trung điểm của AB