tổng s có 100 số hạng, nhóm thành 25 nhóm mỗi nhóm có 4 số hạng, có tổng chia hết cho 20

a) Ta có:

$S=1-3+3^2-3^3+\cdots+3^{98}-3^{99}$

$=(1-3)+(3^2-3^3)+\cdots+(3^{98}-3^{99})$

$=-2-2\cdot3^2-\cdots-2\cdot3^{98}$

$=-2(1+3^2+3^4+\cdots+3^{98})$

$=-2(1+9+9^2+\cdots+9^{49})$

$=-2\cdot\dfrac{9^{50}-1}{9-1}$

$=-\dfrac{9^{50}-1}{4}$

Muốn $S$ chia hết cho $-20$ thì cần:

$S\vdots20$

Nhưng xét modulo $20$:

$9^2=81\equiv1\pmod{20}$

$9^{50}\equiv1\pmod{20}$

Do đó:

$S=-\dfrac{9^{50}-1}{4}$

Ta có thể tính chính xác modulo $20$ bằng cách xét $9^{50}-1$ modulo $80$:

$9^2=81\equiv1\pmod{80}$

$9^{50}=(9^2)^{25}\equiv1\pmod{80}$

nên $S$ chia hết cho $20$.

Vậy: $S\vdots20$

Mà một số chia hết cho $20$ thì cũng chia hết cho $-20$.
b) Tính $S$

Từ: $4S=1-3^{100}$

Suy ra: $S=\dfrac{1-3^{100}}{4}$

Hay: $S=-\dfrac{3^{100}-1}{4}$

Từ đây: $4S=1-3^{100}$

Vì $4S$ chia hết cho $4$ nên:

$1-3^{100}\vdots4$

$3^{100}\equiv1\pmod4$

Vậy $3^{100}$ chia $4$ dư $1$.

S=1-3+3²-3³+.....+3⁹⁸-3⁹⁹

  =(1-3+3²-3³)+(3⁴-3⁵+3⁶-3⁷)+....+(3⁹⁶-3⁹⁷+3⁹⁸-3⁹⁹)

  = -20+3⁴(1-3+3²-3³)+....+3⁹⁶(1-3+3²-3³)

  = -20+3⁴*(-20)+....+3⁹⁶*(-20)

  = -20*(1+3⁴+....+3⁹⁶)chia hết cho -20

nên S chia hết cho -20

Vậy S chia hết cho -20

S=(1-3+3²-3³)+...+(3⁹⁶-3⁹⁷+3⁹⁸-3⁹⁹)

=-20+...+3⁹⁶(1-3+3²-3³)

=-20+...+3⁹⁶.(-20)=-20(1+..+3⁹⁶) chia hết cho -20 => S là bội của -20

b) 3S=3-3²+3³-3⁴+..+3⁹⁹-3¹⁰⁰

3S+S=(3-3²+3³-3⁴+..+3⁹⁹-3¹⁰⁰)+(1-3+3²-3³+..+3⁹⁸-3⁹⁹)

4S=1-3¹⁰⁰

S=(1-3¹⁰⁰):4

Vì S chia hết cho -20=>S chia hết cho 4=>1-3¹⁰⁰ chia hết cho 4 => 3¹⁰⁰ :4 dư 1

bài toán khó cực

\(S=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\)

\(=3^0-3^1+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\)có 100 hạng tử

\(=\left(3^0-3^1+3^2-3^3\right)+\left(3^4-3^5+3^6-3^7\right)+...+\left(3^{96}-3^{97}+3^{98}-3^{100}\right)\) có 25 cặp

\(=-20+3^4.\left(-20\right)+...+3^{96}.\left(-20\right)\)

\(=-20\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮-20\)

Hồng biết