a) Phương trình \(x^2-2mx-2m-1=0\)có các hệ số a = 1; b = - 2m; c = - 2m - 1

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-1\right)=4m^2+8m+4=4\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ với mọi m (đpcm)

b) Theo Viète, ta có: \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=-2m-1\)

Hệ thức \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=-5x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=-5x_1x_2\)hay \(2\left(4m^2+4m+2\right)=10m+5\Leftrightarrow8m^2-2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\m=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)hoặc \(m=-\frac{1}{4}\)thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\)

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4m^2-16m+16+8\)

\(=\left(2m-4\right)^2+8>0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo đề, ta có: 2(m-1)=6

=>m-1=3

=>m=4

Ta có : \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+1>0\)

nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt là x1 và x2 

Theo ĐL Vi-ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=\frac{2m-1}{2}\end{cases}}\)=> \(4m^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) => \(2m^2=\frac{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}{2}\)

=> tìm m để thoả mãn \(2x_1^2+2\cdot2mx_2+2m^2-9=2x_1^2+2\left(x_1+x_2\right)\cdot x_2+\frac{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}{2}-9< 0\)

<=> \(4x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2+x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-18< 0\)

<=> \(5x_1^2+6x_1x_2+5x_2^2-18< 0\)

<=> \(3\left(x_1+x_2\right)^2+2\left(x_1+x_2\right)-18< 0\)

<=> \(2m\left(6m+2\right)-18< 0\)

Bn tự giải tiếp nha :D

a. Thay \(m=-2\) vào pt đề cho ta được pt:

\(x^2-6x-7=0\left(2\right)\)

Lại có: \(a-b+c=1+6-7=0\) nên pt 2 có nghiệm là: \(x_1=1\)và \(x_2=7\)

b. Ta có: \(\Delta'=\left(-3\right)^2-1\left(2m-3\right)=9-2m+3=12-2m\)

Để pt 1 có 2 nghiệm \(x_1;x_2\Leftrightarrow12-2m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le6\)

Theo hệ thức vi-ét ta được: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1.x_2=2m-3\end{cases}}\left(3\right)\)

Theo đề bài ta có: \(x^2_1x_2+x_1x_2^2=24\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=24\left(4\right)\)

Thay \(\left(3\right)\)vào \(\left(4\right)\)ta được:

\(6\left(2m-3\right)=24\)

\(\Rightarrow2m-3=4\)

\(\Rightarrow2m=7\)

\(\Rightarrow m=\frac{7}{2}\left(tmđkxđ\right)\)

Vậy .............

b, \(\Delta'=\left(-6\right)^2-1.\left(2m-3\right)=36-2m+3=39-2m\)

Để pt (1) có 2 nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow39-2m\ge0\Leftrightarrow m\le\frac{39}{2}\)

Theo hệ thức vi-ét ta có: \(x_1+x_2=\frac{-\left(-6\right)}{1}=6;x_1x_2=\frac{2m-3}{1}=2m-3\)

Theo bài ra ta có: \(x_1^2x_2+x_1x_2^2=24\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right).6=24\Leftrightarrow2m-3=24\)

\(\Leftrightarrow2m=27\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}\left(TM\right)\)

Xét 

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)

Vậy phương trình luôn có nghiệp với \(\forall m\)

Theo Viete ta có ngay \(x_1+x_2=2m+1;x_1x_2=m^2+m-6\)

Ta có biến đổi sau:

\(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-3\left(m^2+m-6\right)\)

\(=4m^2+4m+1-3m^2-3m+18\)

\(=m^2-m+19=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+18,75>0\) 

Vậy \(\left|x_1^3+x_2^3\right|=\left|m^2-m+19\right|=m^2-m+19\)

Khi đó ta có được \(m^2-m+19=50\Leftrightarrow m^2-m-31=0\)

Đến đây dễ rồi nè :)