C là điểm chính giữa của cung AB

=>CO⊥AB tại O

TH1: D nằm trên cung nhỏ CB

Xét ΔOCD có OC=OD=CD

nên ΔOCD đều

=>\(\hat{COD}=60^0\)

D nằm trên cung nhỏ CB

=>tia OD nằm giữa hai tia OC và OB

=>\(\hat{COD}+\hat{DOB}=\hat{COB}\)

=>\(\hat{DOB}=90^0-60^0=30^0\)

TH2: D nằm trên cung nhỏ CA

Vì B và D nằm trên hai cung khác nhau bờ OC

nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OD

=>\(\hat{BOD}=\hat{BOC}+\hat{COD}=60^0+90^0=150^0\)

Có hai đáp số tương ứng với hai vị trí của điểm D

*Trường hợp D nằm giữa C và B

VÌ C nằm chính giữa A và B nên :

a: C là điểm chính giữa của cung AB

=>sđ cung CA=sđ cung CB

=>\(\hat{COA}=\hat{COB}=90^0\)

Xét ΔOCD có OC=OD=CD(=R)

nên ΔOCD đều

=>\(\hat{COD}=60^0\)

D nằm trên cung nhỏ BC

=>tia OD nằm giữa hai tia OB và OC

=>\(\hat{BOD}+\hat{COD}=\hat{BOC}\)

=>\(\hat{BOD}=90^0-60^0=30^0\)

b: D nằm trên cung CA

=>tia OC nằm giữa hai tia OD và OB

=>\(\hat{BOD}=\hat{BOC}+\hat{COD}=90^0+60^0=150^0\)

Trường hợp 1: D nằm giữa A và C

=>\(\widehat{AOD}=90^0-60^0=30^0\)

=>\(\widehat{DOB}=150^0\)

Trường hợp 2: D nằm giữa B và C

ΔOCD cân tại O có CD=OC

nên ΔOCD đều

=>\(\widehat{COD}=60^0\)

hay \(\widehat{BOD}=30^0\)

Xét tam giác COD có:

OC=OD=CD=R

=> tam giác COD là tam giác đều

=> góc COD=60 độ (t/c tam giác đều)

Mà cung CD= góc COD= 60 độ ( góc COD là góc ở tâm chắn cung CD)

=> sđ cung CD= 60 độ

* Xét trường hợp điểm D gần điểm B 

=> D thuộc cung BC

=> sđ cung BC= sđ cung CD= sđ cung BD (1)

Ta lại có điểm C là điểm nằm chính giữa cung AB (gt)

=> sđ cung AC= sđ cung BC= sđ cung AB/2= 180 độ/2= 90 độ

Thay vào (1) ta có:

90 độ= 60 độ+ sđ cung BD

=> sđ cung BD= 90 độ - 60 độ= 30 độ

* Xét trường hợp điểm D nằm gần điểm A 

=> C thuộc cung BD

=> sđ cung BD= sđ cung BC+ sđ cung CD

=> sđ cung BD= 90 độ + 60 độ= 150 độ

Xét ΔPOQ có OP=OQ=PQ

nên ΔOPQ đều

=>góc POQ=60 độ

=>góc NOQ=30 độ

1: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE⊥ EB tại E

Xét tứ giác BHKE có \(\hat{BHK}+\hat{BEK}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHKE là tứ giác nội tiếp

2: BHKE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{KHE}=\hat{KBE}=\hat{EBC}\) (1)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

Xét tứ giác ACKH có \(\hat{ACK}+\hat{AHK}=90^0+90^0=180^0\)

nên ACKH là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{KHC}=\hat{KAC}=\hat{CAE}\) (2)

Xét (O) có

\(\hat{CAE};\hat{CBE}\) là các góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{CAE}=\hat{CBE}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{KHC}=\hat{KHE}\)

=>HK là phân giác của góc CHE