a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

E C M K I H A B O

a . Ta có : \(C\in\left(O\right),AB=2R\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại C

c . Vì \(OK\perp BC\Rightarrow B,C\) đối xứng qua OK

\(\Rightarrow\widehat{DCO}=\widehat{DBO}=90^0\Rightarrow DC\)  là tiếp tuyến của (O) 

d . Ta có \(AC=R\Rightarrow\Delta AOC\) đều 

\(\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{MOB}=60^0\Rightarrow\Delta OCM,OMB\) đều 

\(\Rightarrow OC=OM=OB=MB=MC\)=> ◊OBMC là hình thoi

e . Ta có : 

\(\Delta ACO\) đều 

\(\Rightarrow CH==\frac{R\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CI=IH=\frac{R\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{CI}{DB}=\frac{CI}{BC}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{4}}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{4}=\frac{AH}{AB}=\frac{EI}{EB}\)

\(\Rightarrow\Delta ECI~\Delta EDB\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{DEB}\Rightarrow E,C,D\) thẳng hàng 

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB

ΔOAC cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥AC tại H và OH là phân giác của góc AOC

OH⊥AC

AC⊥CB

Do đó: OH//CB

b: Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

\(\hat{AOM}=\hat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOCM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OCM}=90^0\)

=>MA là tiếp tuyến tại A của (O)

d: Gọi N là giao điểm của BC và AN

Gọi P là giao điểm của BM và CK

Xét ΔANB có

O là trung điểm của AB

OM//NB

Do đó: M là trung điểm của AN

=>MA=MN(1)

TA có: CK⊥AB

AN⊥ AB

Do đó: CK//AN
Xét ΔBAM có PK//AM

nên \(\frac{PK}{AM}=\frac{BP}{BM}\) (2)

Xét ΔBMN có CP//MN

nên \(\frac{CP}{MN}=\frac{BP}{BM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra PK=CP

=>P là trung điểm của CK

=>P trùng với I

=>M,I,B thẳng hàng

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI là phân giác của góc BOA

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

góc AOC=góc BOC

OC chung

Do đo: ΔOAC=ΔOBC

=>góc OBC=90 độ

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b: góc ACB=60 độ thì góc ACO=30 độ

Xét ΔCAO vuông tại A có tan ACO=AO/AC

=>R/AC=tan 30

=>AC=R căn 3

\(S_{AOC}=R\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

a: ΔOBC cân tại O

mà OD là đường cao

nên D là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥MB tại C

ΔACM vuông tại C

mà CE là đường trung tuyến

nên EA=EC

Xét ΔEAO và ΔECO có

EA=EC

AO=CO

EO chung

Do đó: ΔEAO=ΔECO

=>\(\hat{EAO}=\hat{ECO}\)

=>\(\hat{ECO}=90^0\)

=>EC là tiếp tuyến tại C của (O)

a: ΔOBC cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>CD là tiếp tuyến tại C của (O)

b: Gọi K là giao điểm của CB và AE

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CK tại C

Ta có; CH⊥AB

AK⊥ AB

Do đó: CH//AK

Xét ΔBEA có IH//AE
nên \(\frac{IH}{AE}=\frac{BI}{BE}\) (1)

Xét ΔBEK có IC//EK

nên \(\frac{IC}{EK}=\frac{BI}{BE}\) (2)

I là trung điểm của CH

=>IC=IH(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AE=EK

=>E là trung điểm của AK

ΔACK vuông tại C

mà CE là đường trung tuyến

nên EA=EC

Xét ΔOAE và ΔOCE có

OA=OC

EA=Ec

OE chung

Do đó: ΔOAE=ΔOCE

=>\(\hat{OAE}=\hat{OCE}\)

=>\(\hat{OCE}=90^0\)

\(\hat{OCE}+\hat{OCD}=\hat{ECD}\)

=>\(\hat{ECD}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,C,D thẳng hàng