1: Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

FM,FB là các tiếp tuyến

Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB

ΔOAM cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM

Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)

=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO

2: OE là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)

OF là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)

=>\(\hat{EOF}=90^0\)

Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao

nên \(ME\cdot MF=OM^2\)

=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)

3: Gọi G là giao điểm của MB và AE

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BG tại M

=>ΔAMG vuông tại M

Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)

\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)

mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)

nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)

=>EG=EM

mà EM=EA

nên EG=EA(1)

Ta có: MH⊥AB

AG⊥ BA

Do đó: MH//AG

Xét ΔBAE có KH//AE

nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)

Xét ΔBEG có MK//EG

nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

1: Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

FM,FB là các tiếp tuyến

Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB

ΔOAM cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM

Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)

=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO

2: OE là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)

OF là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)

=>\(\hat{EOF}=90^0\)

Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao

nên \(ME\cdot MF=OM^2\)

=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)

3: Gọi G là giao điểm của MB và AE

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BG tại M

=>ΔAMG vuông tại M

Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)

\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)

mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)

nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)

=>EG=EM

mà EM=EA

nên EG=EA(1)

Ta có: MH⊥AB

AG⊥ BA

Do đó: MH//AG

Xét ΔBAE có KH//AE

nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)

Xét ΔBEG có MK//EG

nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

Câu a, b nhìn vô là thấy nên chỉ làm câu c thôi nhé

Δ BHK ≈ Δ BAE (g.g.g)

\(\Rightarrow\frac{BH}{BA}=\frac{HK}{AE}\left(1\right)\)

Δ BMH ≈ Δ OEA (g.g.g) 

\(\Rightarrow\frac{BH}{OA}=\frac{MH}{EA}\left(2\right)\)

Lấy (1) chia (2) được:

\(\frac{OA}{BA}=\frac{HK}{MH}=\frac{1}{2}\Rightarrow MK=KH\)

a: Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

Do đó: OE là phân giác của góc AOC và EA=EC

Xét (O) có

FC,FB là các tiếp tuyến

Do đó: OF là phân giác của góc BOC và FB=FC

ΔOAC cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AC tại M và M là trung điểm cua AC

ΔOBC cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BC tại N và N là trung điểm của BC

Xét ΔCAB có

M,N lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>MN là đường trung bình của ΔCAB

=>MN//AB

1: Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Ta có: CD=CM+MD

nên CD=CA+DB