a, HS tự chứng minh

b, Gọi CH ∩ AB = K

Chứng minh được ∆MIC cân tại I

=>  I C M ^ = I M C ^

Tương tự:  O M A ^ = O A M ^

Chứng minh được  I M O ^ = 90 0 => ĐPCM

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔANB vuông tại N

Xét ΔCAB có

AN.BM là đường cao

AN cắt BM tại H

=>H là trực tâm

=>CH vuông góc AB

b:

Gọi giao của CH vơi AB là K

=>CH vuông góc AB tại K

góc OMI=góc OMH+góc IMH

=góc OBM+góc IHM

=góc OBM+góc BHK=90 độ

=>IM là tiếp tuyến của (O)

a: Gọi K là giao điểm của CH và AB

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM⊥CA tại M

Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại N

=>AN⊥CB tại N

Xét ΔCAB có

AN,BM là các đường cao

AN cắt BM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCAB

=>CH⊥AB tại K

b: ΔCMH vuông tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên IM=IH

=>ΔIMH cân tại I

=>\(\hat{IMH}=\hat{IHM}\)

mà \(\hat{IHM}=\hat{CHM}=\hat{CAK}\left(=90^0-\hat{ACK}\right)\)

nên \(\hat{IMH}=\hat{CAK}\)

ΔOMB có OM=OB

nên ΔOMB cân tại O

=>\(\hat{OMB}=\hat{OBM}\)

\(\hat{IMO}=\hat{IMB}+\hat{OMB}\)

\(=\hat{MAB}+\hat{MBA}=90^0\)

=>IM⊥MO tại M

=>IM là tiếp tuyến tại M của (O)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại N

Xét ΔCAB có 

AN,BM là các đường cao

AN cắt BM tại H

Do đó: H là trực tâm

=>CH vuông góc với AB

b: góc IMO=góc IMH+góc OMH

=90 độ-góc ACH+góc ABM

=90 độ

=>MI là tiếp tuyến của (O)

a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O₁) , (O₂) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.

Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên \widehat{MPQ}=\widehat{MHQ}=\widehat{MBH}\left(=\dfrac{\stackrel\frown{HQ}}{2}\right)MPQ​=MHQ​=MBH(=2HQ⌢​​), do đó APQB là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có \widehat{O_1PA}=\widehat{PAO_1}=90^o-\widehat{HMP}=90^o-\widehat{MPQ}O1​PA​=PAO1​​=90o−HMP=90o−MPQ​

\Rightarrow\widehat{O_1PA}+\widehat{MPQ}=90^o\Rightarrow\widehat{O_1PQ}=90^o⇒O1​PA​+MPQ​=90

                                                           bài làm

a, gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến MN 

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên ta có: MN=HM=HN=\(\dfrac{1}{2}\)(AOH =HON)=90 độ

vậy góc MON=90 đọ và là tâm giác vuông tại O đường cao OH

b,theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOH2=MH.HNAM.BN=MI.NI=OI^

Vì vậy $AM.BN=MH.NH=\backslash (OH^2\backslash )$=\(R^2\)

(Quá lực!!!)

E N A B C D O H L

Đầu tiên, hãy CM tam giác \(EAH\) và \(ABD\) đồng dạng.

Từ đó suy ra \(\frac{EA}{AB}=\frac{AH}{BD}\) hay \(\frac{EA}{OB}=\frac{AC}{BD}\).

Từ đây CM được tam giác \(EAC\) và \(OBD\) đồng dạng.

Suy ra \(\widehat{ECA}=\widehat{ODB}\). Do đó nếu gọi \(OD\) cắt \(EC\) tại \(L\) thì CM được \(OD⊥EC\).

-----

Đường tròn đường kính \(NC\) cắt \(EC\) tại \(F\) nghĩa là \(NF⊥EC\), hay \(NF\) song song với \(OD\).

Vậy \(NF\) chính là đường trung bình của tam giác \(AOD\), vậy \(NF\) qua trung điểm \(AO\) (là một điểm cố định) (đpcm)